Математика · Функции и графики · 7 класс

Линейная функция

Цена такси: плата за посадку + каждый км. Почему её график — прямая?

Ситуация

Счётчик такси: посадка 5 000 сум, каждый километр 2 000 сум — сколько вы заплатите за проезд в зависимости от числа километров? В резервуаре 300 литров, каждую минуту вытекает 20 литров — когда он опустеет? В обоих вопросах одна величина зависит от другой, а зависимость изображается прямой. Почему именно прямой, и что означают её наклон и начальная точка?

Тема

Декартова система координат, понятие функции, линейная функция и её график. Счётчик такси и водохранилище: начальная цена + цена за каждый км — прямая y = kx + b, k — угловой коэффициент, b — начальное значение

Ключевые понятия

Координаты
Функция
y = kx + b

Формулы

A (x; y)

Координаты точки: абсцисса $x$ (горизонтальная ось) и ордината $y$ (вертикальная ось); оси делят плоскость на четыре четверти.

y = f (x)

Функция: каждому значению $x$ (аргумента) соответствует ровно одно $y$ (значение функции).

y = k x

Прямая пропорциональность: график — прямая, проходящая через начало координат; $k$ — угловой коэффициент.

y = k x + b

Линейная функция: график $y = k x$ , поднятый на $b$ ; $(0; b)$ — точка пересечения с осью $O y$ .

k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}, b = y_{1} - k x_{1}

Формулы по двум точкам: $k$ — отношение изменения $y$ к изменению $x$ , затем $b$ .

Теория

Декартова система координат

Две перпендикулярные числовые оси — ось абсцисс $O x$ и ось ординат $O y$ — пересекаются в точке $O$ , которая называется началом координат. Каждой точке плоскости соответствует пара чисел $(x; y)$ : как «3-й ряд, 5-е место» в кинозале, порядок важен — $(5; 3)$ и $(3; 5)$ — разные точки. Оси делят плоскость на четыре четверти: в I четверти $(+; +)$ , во II — $(-; +)$ , в III — $(-; -)$ , в IV — $(+; -)$ . У точек на оси $O x$ $y = 0$ , у точек на $O y$ $x = 0$ .

Понятие функции

Цена такси зависит от пути: за $x$ км — $y = 2 x + 5$ тысяч сум. Если каждому значению $x$ соответствует ровно одно $y$ , такая зависимость называется функцией; $x$ — аргумент (независимая переменная), $y$ — значение функции. Функцию задают таблицей, формулой или графиком; график — множество точек $(x; f (x))$ . Если одному $x$ соответствуют два $y$ , это не функция. Аргумент принимает значения, имеющие смысл: путь не бывает отрицательным ( $x \geq 0$ ).

y = kx — прямая пропорциональность

Если $x$ увеличить вдвое, то и $y$ увеличится вдвое: $y = k x$ , $k \neq 0$ . График — прямая, проходящая через начало координат. $k$ — угловой коэффициент: на сколько меняется $y$ , когда $x$ растёт на единицу ( $k = \frac{y}{x}$ одинаково в каждой точке, $x \neq 0$ ). При $k > 0$ прямая поднимается вправо, при $k < 0$ — опускается; чем больше $| k |$ , тем круче прямая. Пример: при равномерном движении путь $s = v t$ (физика — эксперимент «Метро: от станции до станции»).

y = kx + b — линейная функция

Если каждую точку графика $y = k x$ поднять на $b$ , получится параллельная прямая — график $y = k x + b$ ; она пересекает ось $O y$ в точке $(0; b)$ . При $k > 0$ функция возрастает, при $k < 0$ — убывает, при $k = 0$ — горизонтальная прямая $y = b$ . Две прямые с равными $k$ параллельны (общих точек нет), с разными $k$ — пересекаются в одной точке (решение системы уравнений — эксперимент «Системы уравнений»). Пересечение с $O x$ : $k x + b = 0$ , $x = - \frac{b}{k}$ ( $k \neq 0$ ).

Чтение графика и моделирование

Резервуар: $y = 300 - 20 x$ (литры, минуты). Пересечение с $O y$ , $b = 300$ , — начальный объём; пересечение с $O x$ — момент, когда резервуар опустел: $300 - 20 x = 0$ , $x = 15$ мин. По графику можно прочитать объём в любой момент и, наоборот, момент по объёму. Проектная работа: дважды измерьте реальный процесс (длина свечи, заряд телефона, температура), отметьте точки, найдите $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ и $b = y_{1} - k x_{1}$ — линейная модель готова. Она работает, когда скорость изменения постоянна; процессы вроде высоты брошенного мяча описываются параболой (квадратичная модель, 10 класс).

О модели

На самом деле цена такси округляется, и добавляется время ожидания; вытекание из резервуара принято постоянным (на деле по мере убывания воды оно замедляется). Графики построены только на осмысленном промежутке ( $x \geq 0$ ). На сцене точки «прилипают» к узлам с целыми координатами, поэтому $k$ и $b$ получаются рациональными числами; в общем случае они могут быть любыми действительными числами.

Знаете ли вы?

Метод координат изложил Рене Декарт в 1637 году в «Геометрии» (приложении к «Рассуждению о методе») — поэтому систему называют «декартовыми координатами».
Слово «функция» ввёл в математику Готфрид Лейбниц в 1673 году, а обозначение $f (x)$ предложил Леонард Эйлер в 1734 году.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.