Matematika · Funksiyalar va grafiklar · 7-sinf

Chiziqli funksiya

Taksi narxi: boshlang‘ich to‘lov + har km. Grafigi nega to‘g‘ri chiziq?

Vaziyat

Taksi hisoblagichi: o‘tirganda 5 000 so‘m, har kilometr uchun 2 000 so‘m — necha kilometr yursangiz qancha to‘laysiz? Suv ombori 300 litr, har minutda 20 litr oqib chiqadi — qachon bo‘shaydi? Ikkala savolda ham bir son ikkinchisiga bog‘liq, bog‘lanish esa to‘g‘ri chiziq bilan chiziladi. Nega aynan to‘g‘ri chiziq, uning qiyaligi va boshlang‘ich nuqtasi nimani bildiradi?

Mavzu

Dekart koordinatalar sistemasi, funksiya tushunchasi, chiziqli funksiya va grafigi. Taksi hisoblagichi va suv ombori: boshlang‘ich narx + har km narxi — y = kx + b to‘g‘ri chiziq, k qiyalik, b boshlanish

Asosiy tushunchalar

Koordinatalar
Funksiya
y = kx + b

Formulalar

A (x; y)

Nuqtaning koordinatalari: abssissa $x$ (gorizontal o‘q) va ordinata $y$ (vertikal o‘q); o‘qlar tekislikni to‘rt chorakka bo‘ladi.

y = f (x)

Funksiya: har bir $x$ (argument) qiymatiga aynan bitta $y$ (funksiya qiymati) mos keladi.

y = k x

To‘g‘ri proporsionallik: grafigi koordinata boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq; $k$ — qiyalik koeffitsiyenti.

y = k x + b

Chiziqli funksiya: $y = k x$ grafigi $b$ ga ko‘tarilgan to‘g‘ri chiziq; $(0; b)$ — $O y$ o‘qi bilan kesishish nuqtasi.

k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}, b = y_{1} - k x_{1}

Ikki nuqtadan formula: $k$ — $y$ ning o‘zgarishi $x$ ning o‘zgarishiga nisbatan, keyin $b$ .

Nazariya

Dekart koordinatalar sistemasi

Ikki perpendikulyar son o‘qi — abssissalar o‘qi $O x$ va ordinatalar o‘qi $O y$ — kesishgan $O$ nuqta koordinata boshi. Tekislikdagi har bir nuqtaga sonlar jufti $(x; y)$ mos keladi: kinozaldagi «3-qator, 5-o‘rin» kabi, tartib muhim — $(5; 3)$ va $(3; 5)$ har xil nuqtalar. O‘qlar tekislikni to‘rt chorakka bo‘ladi: I chorakda $(+; +)$ , II da $(-; +)$ , III da $(-; -)$ , IV da $(+; -)$ . $O x$ o‘qidagi nuqtalarda $y = 0$ , $O y$ dagilarda $x = 0$ .

Funksiya tushunchasi

Taksi narxi yo‘lga bog‘liq: $x$ km uchun $y = 2 x + 5$ ming so‘m. Har bir $x$ qiymatiga aynan bitta $y$ mos kelsa, bu bog‘lanish funksiya; $x$ — argument (erkli o‘zgaruvchi), $y$ — funksiya qiymati. Funksiya jadval, formula yoki grafik bilan beriladi; grafik — $(x; f (x))$ nuqtalar to‘plami. Bitta $x$ ga ikkita $y$ to‘g‘ri kelsa — funksiya emas. Argument ma’noli qiymatlarni oladi: yo‘l manfiy bo‘lmaydi ( $x \geq 0$ ).

y = kx — to‘g‘ri proporsionallik

$x$ ikki marta oshsa $y$ ham ikki marta oshadi: $y = k x$ , $k \neq 0$ . Grafigi — koordinata boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq. $k$ — qiyalik koeffitsiyenti: $x$ bir birlik o‘sganda $y$ qanchaga o‘zgarishi ( $k = \frac{y}{x}$ har bir nuqtada bir xil, $x \neq 0$ ). $k > 0$ — chiziq o‘ng tomonga ko‘tariladi, $k < 0$ — tushadi; $| k |$ qancha katta, chiziq shuncha tik. Misol: tekis harakatda yo‘l $s = v t$ (fizika — «Metro» tajribasi).

y = kx + b — chiziqli funksiya

$y = k x$ grafigining har bir nuqtasini $b$ ga ko‘tarsak, parallel to‘g‘ri chiziq hosil bo‘ladi — $y = k x + b$ grafigi; u $O y$ o‘qini $(0; b)$ nuqtada kesadi. $k > 0$ bo‘lsa funksiya o‘suvchi, $k < 0$ — kamayuvchi, $k = 0$ — $y = b$ gorizontal chiziq. $k$ lari teng ikki chiziq parallel (umumiy nuqtasi yo‘q), $k$ lari har xil — bitta nuqtada kesishadi (tenglamalar sistemasining yechimi — «Sistema» tajribasi). $O x$ bilan kesishish: $k x + b = 0$ , $x = - \frac{b}{k}$ ( $k \neq 0$ ).

Grafikdan o‘qish va modellashtirish

Ombor: $y = 300 - 20 x$ (litr, minut). $O y$ bilan kesishish $b = 300$ — boshlang‘ich hajm; $O x$ bilan kesishish — ombor bo‘shagan payt: $300 - 20 x = 0$ , $x = 15$ min. Grafikdan ixtiyoriy paytdagi hajmni va teskarisini o‘qish mumkin. Loyiha ishi: haqiqiy jarayonni (shamning uzunligi, telefon zaryadi, harorat) ikki marta o‘lchang, nuqtalarni belgilang, $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ va $b = y_{1} - k x_{1}$ ni toping — chiziqli model tayyor. U o‘zgarish tezligi doimiy bo‘lganda ishlaydi; otilgan to‘p balandligi kabi jarayonlar parabola (kvadrat model, 10-sinf) bilan tasvirlanadi.

Model haqida

Taksi narxi haqiqatda yaxlitlanadi va kutish vaqti ham qo‘shiladi; ombordan oqim doimiy deb olingan (aslida suv kamaygani sari sekinlashadi). Grafiklar faqat ma’noli oraliqda chizilgan ( $x \geq 0$ ). Sahnada nuqtalar butun koordinatali tugunlarga «yopishadi», shuning uchun $k$ va $b$ ratsional sonlar bo‘lib chiqadi; umumiy holda ular istalgan haqiqiy son bo‘lishi mumkin.

Bilasizmi?

Koordinatalar usulini Rene Dekart 1637-yilda «Geometriya» asarida («Metod haqida mulohaza»ga ilova) bayon qilgan — shuning uchun sistema «Dekart koordinatalari» deb ataladi.
«Funksiya» so‘zini matematikaga Gotfrid Leybnits 1673-yilda kiritgan, $f (x)$ belgisini esa Leonard Eyler 1734-yilda taklif qilgan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.