Математика · Комбинаторика, вероятность и статистика · 9 класс

Вероятность: монета, кубик, Венн

Сколько раз выпадет орёл, если подбросить монету 1000 раз? Какова вероятность, что на двух кубиках разность чисел равна 1?

Открыть эксперимент

Ситуация

В прогнозе погоды говорят «вероятность дождя 30 %», на лотерейном билете написано «выигрывает каждый десятый», а в игре бросают кубик. Если подбросить монету 1000 раз, сколько раз выпадет орёл — ровно 500? При броске двух кубиков какая сумма выпадает чаще? Случайность можно посчитать: делим число благоприятных исходов на число всех, многократно повторяем опыт и связываем события словами «или», «и», «не».

Тема

События и вероятность: классическое определение, относительная частота, действия над событиями, правила сложения и умножения. Монета, игральная кость и лотерея: при тысяче бросков частота приближается к вероятности; «или» и «и» с кругами Эйлера–Венна

Ключевые понятия

Классическое определение
Относительная частота
Операции над событиями

Формулы

P (A) = \frac{m}{n}

Классическое определение: из $n$ равновозможных исходов $m$ благоприятны для события. Чётное число на кубике: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

w (A) = \frac{k}{N} \to P (A)

Относительная частота: в $N$ опытах событие произошло $k$ раз; при большом $N$ частота приближается к вероятности (статистическое определение).

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B), P (\overline{A}) = 1 - P (A)

Теорема сложения: «A или B»; для несовместных событий $P (A \cap B) = 0$ , и вероятности просто складываются. Противоположное событие — всё остальное.

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) (независимые), P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A)

Правило умножения: «A и B». Для независимых событий (две монеты) вероятности перемножаются; при выборе без возвращения второй множитель — условная вероятность.

P (A) = \frac{S (A)}{S (Ω)}

Геометрическое определение: если исходов бесконечно много (точка в мишени), вероятность — отношение площадей.

Теория

Опыт, исход, событие

Бросок кубика — опыт, числа от 1 до 6 — его исходы; если кубик правильный, они равновозможны. Событие — часть исходов: «выпало чётное число» — это {2; 4; 6}. Событие, которое происходит в каждом опыте, — достоверное («число не больше 6»), которое никогда не происходит — невозможное («выпало 7»), остальные — случайные. На первой ступени выберите события для монеты и кубика.

Классическое определение

Если исходы равновозможны, вероятность — это отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов: $P (A) = \frac{m}{n}$ . Чётное число на кубике: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . При броске двух кубиков исходов — 36 пар (таблица); «сумма 7» — в 6 клетках: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ , а «сумма 2» — в одной: $\frac{1}{36}$ . Вероятность всегда от 0 до 1: невозможное событие — 0, достоверное — 1.

Относительная частота и статистическое определение

Если при 20 бросках монеты выпало 12 орлов, относительная частота орла равна $\frac{12}{20} = 0,6$ — это не вероятность $0,5$ , но близко. С ростом числа опытов $N$ частота колеблется около вероятности всё меньше (закон больших чисел). Поэтому, когда исходы не равновозможны (несимметричная монета, дождь, выздоровление больного), вероятность определяют статистически: как частоту в большом числе опытов. На третьей ступени меняйте длину серии.

Три определения вероятности

Классическое — считаем равновозможные исходы; статистическое — наблюдаем частоту; геометрическое — исходов бесконечно много (точка, попавшая в мишень), вероятность — отношение площадей: вероятность попасть в круг радиуса 3 в квадратной мишени со стороной 10 равна $\frac{π \cdot 9}{100} \approx 0,28$ . На четвёртой ступени «выстреливаются» случайные точки: доля попавших в круг приближается к этому числу — это метод Монте-Карло.

Операции над событиями

$A$ — «играет в футбол», $B$ — «играет в шахматы». Сумма $A \cup B$ — хотя бы одно (или), произведение $A \cap B$ — оба сразу (и), противоположное $\overline{A}$ — не играет в футбол. На диаграмме Эйлера–Венна это объединение кругов, их пересечение и область вне круга. Теорема сложения: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ — пересечение сложено дважды, поэтому один раз вычитается; если события несовместны, пересечение пусто и вероятности просто складываются. $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .

Правило умножения и о модели

Две монеты — независимые события: результат второй не зависит от первой, $P (ОО) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . Когда шар вынимают из коробки без возвращения, второе вытягивание зависит от первого: из 3 красных и 2 синих оба красные — $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}$ ; второй множитель — условная вероятность $P (B | A)$ . На дереве вероятности на ветвях перемножаются, а у листьев складываются. Монета и кубик в эксперименте идеальные (равновозможные); «случайные» серии получаются на компьютере генератором с начальным значением (seed), поэтому кнопка «Новая серия» даёт другой результат, а повтор — тот же.

Знаете ли вы?

Теория вероятностей началась в 1654 году с переписки Блеза Паскаля и Пьера Ферма: они решили задачу азартного игрока де Мере о том, как разделить ставку в незаконченной игре.
Статистик Карл Пирсон подбросил монету 24 000 раз и получил 12 012 орлов — частота 0,5005: очень близко к вероятности 0,5, но не в точности равно ей.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Комбинаторика: правила подсчёта — 7 класс
Статистика: среднее, медиана, σ — 8 класс