Matematika · Kombinatorika, ehtimollar va statistika · 9-sinf

Ehtimollik: tanga, zar, Venn

Tangani 1000 marta tashlasak gerb necha marta tushadi? Ikki zarda farq 1 bo‘lish ehtimoli?

Vaziyat

Ob-havo xabarida «yomg‘ir ehtimoli 30 %» deyiladi, lotereya chiptasida «har o‘ninchisi yutadi» yozilgan, o‘yinda esa zar tashlanadi. Tangani 1000 marta tashlasak, gerb necha marta tushadi — roppa-rosa 500 mi? Ikki zar tashlaganda qaysi yig‘indi ko‘proq chiqadi? Tasodifni sanab bo‘ladi: qulay natijalarni jamiga bo‘lamiz, tajribani ko‘p marta takrorlaymiz va hodisalarni «yoki», «va», «emas» bilan bog‘laymiz.

Mavzu

Hodisalar va ehtimollik: klassik ta’rif, nisbiy chastota, hodisalar ustida amallar, qo‘shish va ko‘paytirish qoidalari. Tanga, zar va lotereya: ming marta tashlashda chastota ehtimollikka yaqinlashadi; Eyler–Venn doiralari bilan «yoki» va «va»

Asosiy tushunchalar

Klassik ta’rif
Nisbiy chastota
Hodisalar ustida amallar

Formulalar

P (A) = \frac{m}{n}

Klassik ta’rif: $n$ ta teng imkoniyatli natijadan $m$ tasi hodisaga qulay. Zarda juft son: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

w (A) = \frac{k}{N} \to P (A)

Nisbiy chastota: $N$ ta tajribada hodisa $k$ marta ro‘y berdi; $N$ katta bo‘lganda chastota ehtimollikka yaqinlashadi (statistik ta’rif).

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B), P (\overline{A}) = 1 - P (A)

Qo‘shish teoremasi: «A yoki B»; birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun $P (A \cap B) = 0$ va ehtimolliklar shunchaki qo‘shiladi. Qarama-qarshi hodisa — qolgan qism.

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) (bog‘liqsiz), P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A)

Ko‘paytirish qoidasi: «A va B». Bog‘liqsiz hodisalar (ikki tanga) uchun ehtimolliklar ko‘paytiriladi; qaytarmasdan tortishda ikkinchi ko‘paytuvchi — shartli ehtimollik.

P (A) = \frac{S (A)}{S (Ω)}

Geometrik ta’rif: natijalar cheksiz ko‘p bo‘lsa (nishondagi nuqta), ehtimollik — yuzalar nisbati.

Nazariya

Tajriba, natija, hodisa

Zar tashlash — tajriba, 1 dan 6 gacha son — uning natijalari; zar to‘g‘ri bo‘lsa, ular teng imkoniyatli. Hodisa — natijalarning bir qismi: «juft son tushdi» — bu {2; 4; 6}. Har tajribada ro‘y beradigan hodisa muqarrar («6 dan katta bo‘lmagan son»), hech qachon ro‘y bermaydigani mumkin bo‘lmagan («7 tushdi»), qolganlari tasodifiy. Birinchi pog‘onada tanga va zar hodisalarini tanlang.

Klassik ta’rif

Natijalar teng imkoniyatli bo‘lsa, ehtimollik — qulay natijalar sonining barcha natijalar soniga nisbati: $P (A) = \frac{m}{n}$ . Zarda juft son: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Ikki zar tashlanganda natijalar — 36 ta juftlik (jadval); «yig‘indi 7» 6 ta katakda — $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ , «yig‘indi 2» esa bittasida — $\frac{1}{36}$ . Ehtimollik har doim 0 dan 1 gacha: mumkin bo‘lmagan hodisa — 0, muqarrar — 1.

Nisbiy chastota va statistik ta’rif

Tangani 20 marta tashlab 12 gerb olsak, gerbning nisbiy chastotasi $\frac{12}{20} = 0,6$ — ehtimollik $0,5$ emas, lekin yaqin. Tajribalar soni $N$ oshgani sari chastota ehtimollik atrofida tobora kamroq tebranadi (katta sonlar qonuni). Shuning uchun natijalar teng imkoniyatli bo‘lmaganda (egri tanga, yomg‘ir, bemor tuzalishi) ehtimollik statistik aniqlanadi: ko‘p tajribadagi chastota. Uchinchi pog‘onada seriya uzunligini o‘zgartiring.

Ehtimollikning uch ta’rifi

Klassik — teng imkoniyatli natijalar sanaladi; statistik — chastota kuzatiladi; geometrik — natijalar cheksiz ko‘p (nishonga tushgan nuqta), ehtimollik — yuzalar nisbati: radiusi 3 bo‘lgan doiraga tomoni 10 bo‘lgan kvadrat nishonda tushish ehtimoli $\frac{π \cdot 9}{100} \approx 0,28$ . To‘rtinchi pog‘onada tasodifiy nuqtalar «otiladi»: doiraga tushganlari ulushi shu songa yaqinlashadi — bu Monte-Karlo usuli.

Hodisalar ustida amallar

$A$ — «futbol o‘ynaydi», $B$ — «shaxmat o‘ynaydi». Yig‘indi $A \cup B$ — kamida bittasi (yoki), ko‘paytma $A \cap B$ — ikkalasi ham (va), qarama-qarshi $\overline{A}$ — futbol o‘ynamaydi. Eyler–Venn rasmida bular — doiralar birlashmasi, kesishmasi, doiradan tashqarisi. Qo‘shish teoremasi: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ — kesishma ikki marta qo‘shilgani uchun bir marta ayiriladi; hodisalar birgalikda bo‘lmasa, kesishma bo‘sh va ehtimolliklar shunchaki qo‘shiladi. $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .

Ko‘paytirish qoidasi va model haqida

Ikki tanga — bog‘liqsiz hodisalar: ikkinchisining natijasi birinchisiga bog‘liq emas, $P (G G) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . Qutidan sharni qaytarmasdan tortganda ikkinchi tortish birinchisiga bog‘liq: 3 qizil, 2 ko‘kdan ikkala qizil — $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}$ ; ikkinchi ko‘paytuvchi — shartli ehtimollik $P (B | A)$ . Daraxt diagrammasida shoxlardagi ehtimolliklar ko‘paytiriladi, barglarniki qo‘shiladi. Tajribadagi tanga va zar ideal (teng imkoniyatli); «tasodifiy» seriyalar kompyuterda urug‘li generator bilan chiqariladi, shuning uchun «Yangi seriya» tugmasi boshqa natija beradi, qayta ko‘rish esa o‘sha-o‘sha.

Bilasizmi?

Ehtimollik nazariyasi 1654-yilda Blez Paskal va Pyer Ferma yozishmasidan boshlangan: ular qimorboz de Mere so‘ragan «tugallanmagan o‘yinda pulni qanday bo‘lish» masalasini yechgan.
Statistik Karl Pirson tangani 24 000 marta tashlab 12 012 gerb olgan — chastota 0,5005: ehtimollik 0,5 ga juda yaqin, lekin roppa-rosa teng emas.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Kombinatorika: sanash qoidalari — 7-sinf
Statistika: o‘rta, mediana, σ — 8-sinf