Matematika · Kombinatorika, ehtimollar va statistika · 8-sinf

Statistika: o‘rta, mediana, σ

Sinfning «odatiy» bo‘yi qancha? Bitta juda baland o‘quvchi o‘rtachani qanchaga suradi?

Vaziyat

Sinfdagi 25 o‘quvchining bo‘yi o‘lchandi va bir hafta davomida har kuni yurgan qadamlari yozib borildi. Sinfning «odatiy» bo‘yi qancha? Bitta juda baland o‘quvchi o‘rtacha bo‘yni qanchaga suradi? Bo‘ylar qanchalik tarqoq? Bo‘y bilan poyabzal o‘lchami bog‘liqmi, bo‘y bilan qadamlar-chi? 25 ta sonni jadvaldan diagrammaga, diagrammadan bitta-ikkita ma’noli songa aylantiramiz.

Mavzu

Ma’lumotlar tahlili: jadval va diagrammalar, o‘rta qiymat, moda, mediana, standart chetlanish, ikki miqdor bog‘liqligi. Sinf o‘quvchilarining bo‘yi va haftalik qadamlar soni: gistogramma, o‘rta, mediana, tarqoqlik, sochilma diagramma

Asosiy tushunchalar

Gistogramma
O‘rta qiymat va mediana
Standart chetlanish

Formulalar

\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}

O‘rta qiymat (arifmetik o‘rta): hamma qiymatlar yig‘indisi bo‘lingan ularning soniga — ustunlar «tekislanganda» chiqadigan balandlik.

M e = x_{\frac{n + 1}{2}} (n toq), M e = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2} (n juft)

Mediana — saralangan qatorning o‘rtasidagi qiymat; juft sonda o‘rtadagi ikkitasining o‘rtasi.

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \overline{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \overline{x})}^{2}}{n}}

Standart chetlanish: chetlanishlar kvadratlarining o‘rtasidan kvadrat ildiz — ma’lumotlar o‘rtadan qanchalik tarqoq.

r = \frac{\sum (x_{i} - \overline{x}) (y_{i} - \overline{y})}{\sqrt{\sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2} \cdot \sum {(y_{i} - \overline{y})}^{2}}}

Korrelyatsiya koeffitsiyenti $- 1 \leq r \leq 1$ : 1 ga yaqin — kuchli musbat, $- 1$ ga yaqin — kuchli manfiy, 0 atrofida — bog‘liqlik ko‘rinmaydi.

w_{i} = \frac{n_{i}}{n}, {\overline{x}}_{gur} \approx \frac{\sum m_{i} n_{i}}{n}

Nisbiy chastota — guruhdagi qiymatlar ulushi; guruhlangan o‘rta — oraliq o‘rtalari $m_{i}$ chastotalar bilan ko‘paytirilib yig‘iladi.

Nazariya

Ma’lumotlarni tasvirlash

25 ta son jadvalda ko‘zga tashlanmaydi. Ustunli diagramma har bir songa ustun beradi, lekin tartibsiz ustunlar ham ko‘p narsa aytmaydi. Gistogramma qiymatlarni teng kenglikdagi guruhlarga (oraliqlarga) ajratadi va har guruhda nechta qiymat borini — chastotani — ko‘rsatadi: 160–165 sm guruhda eng ko‘p o‘quvchi. Doiraviy diagramma ulushlarni ko‘rsatadi: 25 dan 9 tasi — 36 %. Birinchi pog‘onada guruh kengligini o‘zgartirib ko‘ring — rasm qanday o‘zgaradi?

O‘rta qiymat

Olti o‘quvchi kuniga 4, 6, 7, 9, 5 va 8 ming qadam yuradi. Hamma qadamlarni bir joyga yig‘ib teng bo‘lsak, har kimga $\frac{39}{6} = 6,5$ ming to‘g‘ri keladi — bu o‘rta qiymat. Ustunlar «tekislanadi»: tepadagilar pastdagilarga beradi, yig‘indi o‘zgarmaydi. Shuning uchun o‘rta qiymat har bir qiymatga bog‘liq: bittasini oshirsak, o‘rta ham oshadi — ikkinchi pog‘onada ustun tepasini suring.

Moda va mediana

Moda — eng ko‘p uchragan qiymat (sinfda 160 sm — 4 kishi). Mediana — saralangan qatorning o‘rtasi: yarmi undan kichik, yarmi katta; 8 ta qiymatda o‘rtadagi 4- va 5-qiymatlarning o‘rtasi. Bitta chetki qiymat (bir o‘quvchi 40 ming qadam yurdi) o‘rta qiymatni kuchli suradi, medianaga esa deyarli ta’sir qilmaydi — o‘rtadagi o‘rin o‘zgarmaydi. Shuning uchun maoshlar, uylar narxi kabi «chetki qiymatli» ma’lumotlarda mediana ishonchliroq.

Chetlanish va standart chetlanish

Ikki sinfning o‘rtacha bo‘yi bir xil bo‘lishi, lekin birida hamma deyarli bir bo‘yda, boshqasida juda tarqoq bo‘lishi mumkin. Tarqoqlikni chetlanishlar $x_{i} - \overline{x}$ ko‘rsatadi, lekin ularning yig‘indisi har doim 0 (musbatlar manfiylarni yo‘q qiladi). Shuning uchun chetlanishlarni kvadratga ko‘taramiz, o‘rtasini olamiz (bu dispersiya) va ildiz chiqarib asl birlikka qaytamiz: $σ = \sqrt{\frac{\sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n}}$ . Hamma chetlanishni 2 marta oshirsak, $σ$ ham 2 marta oshadi — to‘rtinchi pog‘onada tarqoqlik slayderi.

Ikki tur ma’lumot bog‘liqligi

Har o‘quvchi uchun ikki son bo‘lsa (bo‘y va poyabzal o‘lchami), ularni sochilma diagrammaga nuqta qilib qo‘yamiz. Nuqtalar bir chiziq bo‘ylab yuqoriga ketsa — musbat bog‘liqlik (bo‘y katta — poyabzal katta), pastga — manfiy (ko‘p mashq — 100 m ga kam vaqt), tartibsiz bulut bo‘lsa — bog‘liqlik ko‘rinmaydi (bo‘y va qadamlar). Bog‘liqlik kuchini korrelyatsiya koeffitsiyenti $r$ o‘lchaydi, nuqtalarga eng yaqin to‘g‘ri chiziq — tendensiya chizig‘i. Bog‘liqlik — sabab degani emas: muzqaymoq sotuvi va cho‘milish baxtsiz hodisalari birga o‘sadi, chunki ikkalasi ham yozga bog‘liq.

Chastotalar, tanlanma va model haqida

Nisbiy chastota $w_{i} = n_{i} / n$ guruhning ulushi (yig‘indisi 1), jamlanma chastota — shu guruhgacha nechta qiymat yig‘ilgani. Faqat guruhlar ma’lum bo‘lsa, o‘rta taxminan: oraliq o‘rtalari chastotalar bilan — 161,5 sm, haqiqiy 160,8 ga yaqin. Butun sinf — bosh to‘plam, undan olingan bir nechta o‘quvchi — tanlanma: tanlanma o‘rtasi bosh to‘plam o‘rtasiga yaqin, lekin teng emas, va tanlanma qancha katta bo‘lsa, shuncha yaqin. Bu tajribada $σ$ maktab formulasi bo‘yicha ( $n$ ga bo‘lib) hisoblanadi; ilmiy ishlarda ko‘pincha $n - 1$ ga bo‘linadi — natija bir oz katta chiqadi.

Bilasizmi?

«Statistika» so‘zini 1749-yilda nemis olimi Gotfrid Axenvall «davlat haqidagi fan» ma’nosida kiritgan (lotincha status — davlat, holat).
Florens Naytingeyl 1858-yilda Qrim urushi kasalxonalaridagi o‘limlarni «atirgul» (qutbiy) diagrammalarida tasvirlab, askarlar ko‘proq jangda emas, kasalliklardan o‘layotganini parlamentga ko‘rsatib bergan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Kombinatorika: sanash qoidalari — 7-sinf
Ehtimollik: tanga, zar, Venn — 9-sinf