Математика · Комбинаторика, вероятность и статистика · 8 класс

Статистика: среднее, медиана, σ

Каков «типичный» рост в классе? На сколько один очень высокий ученик сдвигает среднее?

Ситуация

У 25 учеников класса измерили рост и целую неделю записывали, сколько шагов они проходят за день. Каков «типичный» рост в классе? На сколько один очень высокий ученик сдвигает средний рост? Насколько рассеяны значения роста? Связан ли рост с размером обуви, а рост — с числом шагов? Мы превратим 25 чисел из таблицы в диаграмму, а из диаграммы — в одно-два числа, которые что-то говорят.

Тема

Анализ данных: таблица и диаграммы, среднее значение, мода, медиана, стандартное отклонение, связь двух величин. Рост учеников класса и число шагов за неделю: гистограмма, среднее, медиана, разброс, диаграмма рассеяния

Ключевые понятия

Гистограмма
Среднее и медиана
Стандартное отклонение

Формулы

\overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}

Среднее значение (среднее арифметическое): сумма всех значений, делённая на их число, — высота, которую получают «выровняв» столбики.

M e = x_{\frac{n + 1}{2}} (n нечётно), M e = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2} (n чётно)

Медиана — значение в середине упорядоченного ряда; при чётном числе значений — среднее двух средних.

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \overline{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \overline{x})}^{2}}{n}}

Стандартное отклонение: квадратный корень из среднего квадратов отклонений — показывает, насколько данные рассеяны вокруг среднего.

r = \frac{\sum (x_{i} - \overline{x}) (y_{i} - \overline{y})}{\sqrt{\sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2} \cdot \sum {(y_{i} - \overline{y})}^{2}}}

Коэффициент корреляции $- 1 \leq r \leq 1$ : близок к 1 — сильная положительная связь, близок к $- 1$ — сильная отрицательная, около 0 — связи не видно.

w_{i} = \frac{n_{i}}{n}, {\overline{x}}_{гр} \approx \frac{\sum m_{i} n_{i}}{n}

Относительная частота — доля значений в группе; среднее по сгруппированным данным — середины интервалов $m_{i}$ умножаются на частоты и суммируются.

Теория

Представление данных

25 чисел в таблице глазу не поддаются. Столбчатая диаграмма даёт каждому числу свой столбик, но беспорядочные столбики тоже мало что говорят. Гистограмма разбивает значения на группы (интервалы) равной ширины и показывает, сколько значений попало в каждую, — частоту: больше всего учеников в группе 160–165 см. Круговая диаграмма показывает доли: 9 из 25 — это 36 %. На первом шаге измените ширину группы — как изменится картина?

Среднее значение

Шесть учеников проходят в день 4, 6, 7, 9, 5 и 8 тысяч шагов. Если собрать все шаги вместе и разделить поровну, на каждого придётся $\frac{39}{6} = 6,5$ тысячи — это среднее значение. Столбики «выравниваются»: верхние отдают нижним, сумма не меняется. Поэтому среднее зависит от каждого значения: увеличим одно — вырастет и среднее; на втором шаге подвигайте верхушку столбика.

Мода и медиана

Мода — самое часто встречающееся значение (в классе 160 см — у 4 человек). Медиана — середина упорядоченного ряда: половина значений меньше неё, половина больше; при 8 значениях это среднее 4-го и 5-го значений. Одно крайнее значение (один ученик прошёл 40 тысяч шагов) сильно сдвигает среднее, а медиану почти не затрагивает — место в середине не меняется. Поэтому для данных с «выбросами», например зарплат или цен на жильё, медиана надёжнее.

Отклонение и стандартное отклонение

У двух классов средний рост может быть одинаковым, но в одном почти все одного роста, а в другом он сильно различается. Разброс показывают отклонения $x_{i} - \overline{x}$ , но их сумма всегда равна 0 (положительные гасят отрицательные). Поэтому мы возводим отклонения в квадрат, берём среднее (это дисперсия) и извлекаем корень, возвращаясь к исходным единицам: $σ = \sqrt{\frac{\sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n}}$ . Если увеличить все отклонения в 2 раза, $σ$ тоже вырастет в 2 раза — на четвёртом шаге есть ползунок разброса.

Связь двух видов данных

Если у каждого ученика есть два числа (рост и размер обуви), мы наносим их точками на диаграмму рассеяния. Если точки идут вверх вдоль одной линии — положительная связь (рост больше — обувь больше), вниз — отрицательная (больше тренировок — меньше время на 100 м), а если это беспорядочное облако — связи не видно (рост и шаги). Силу связи измеряет коэффициент корреляции $r$ , а прямая, ближайшая к точкам, — линия тренда. Связь не означает причину: продажи мороженого и несчастные случаи на воде растут вместе, потому что оба зависят от лета.

Частоты, выборка и о модели

Относительная частота $w_{i} = n_{i} / n$ — доля группы (сумма равна 1), накопленная частота — сколько значений набралось вплоть до этой группы. Если известны только группы, среднее находят приближённо: середины интервалов с частотами дают 161,5 см, что близко к настоящему значению 160,8. Весь класс — генеральная совокупность, несколько случайно выбранных из него учеников — выборка: среднее выборки близко к среднему генеральной совокупности, но не равно ему, и чем больше выборка, тем ближе. В этом эксперименте $σ$ вычисляется по школьной формуле (делением на $n$ ); в научных работах часто делят на $n - 1$ — результат получается чуть больше.

Знаете ли вы?

Слово «статистика» ввёл в 1749 году немецкий учёный Готфрид Ахенвалль в значении «наука о государстве» (лат. status — государство, состояние).
В 1858 году Флоренс Найтингейл изобразила смертность в госпиталях Крымской войны на «розах» (полярных диаграммах) и показала парламенту, что солдаты гибнут больше от болезней, чем в бою.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Комбинаторика: правила подсчёта — 7 класс
Вероятность: монета, кубик, Венн — 9 класс