Matematika · Kombinatorika, ehtimollar va statistika · 7-sinf

Kombinatorika: sanash qoidalari

3 ko‘ylak va 2 shim — necha xil kiyinish mumkin? 6 kishi qatorga nechta tartibda turadi?

Vaziyat

Ertalab shkafda 3 ta ko‘ylak va 2 ta shim bor — necha xil kiyinish mumkin? Telefon paroli 4 xonali bo‘lsa, nechta variantni sinab ko‘rish kerak? Sinfdagi 6 navbatchini qatorga necha xil tartibda qo‘yish mumkin? Bularning hammasi — sanash masalalari. Variantlarni birma-bir yozib chiqish o‘rniga daraxt chizamiz, jadval tuzamiz va ikkita oddiy qoidani kashf etamiz.

Mavzu

Kombinatorika: qo‘shish va ko‘paytirish qoidalari, o‘rin almashtirish, tanlash usuli. Kiyim tanlash, telefon paroli va sinf navbatchilari: variantlar daraxti, ko‘paytirish qoidasi, n! o‘rin almashtirish

Asosiy tushunchalar

Variantlar daraxti
Ko‘paytirish qoidasi
O‘rin almashtirish

Formulalar

N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}

Ko‘paytirish qoidasi: tanlov ketma-ket va bilan bog‘langan $k$ bosqichdan iborat bo‘lsa, variantlar soni ko‘paytiriladi.

N = n_{1} + n_{2}

Qo‘shish qoidasi: birinchi yoki ikkinchi yo‘l — birgalikda bo‘lmagan guruhlarning variantlari qo‘shiladi.

P_{n} = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n

$n$ ta turli narsani qatorga qo‘yish usullari soni — o‘rin almashtirishlar; $n!$ — « $n$ faktorial».

n^{k} va n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

$n$ ta belgidan $k$ xonali ketma-ketliklar: takror bilan $n^{k}$ , takrorsiz — har keyingi xonaga bitta kam variant.

Nazariya

Variantlar daraxti va ko‘paytirish qoidasi

Tanlov bosqichma-bosqich bo‘lsa, uni daraxt bilan chizamiz: har bir ko‘ylakdan shimlar soni qadar shox chiqadi. Barglar soni — shoxlar sonlarining ko‘paytmasi: 3 ko‘ylak va 2 shim — $3 \cdot 2 = 6$ kiyinish. Yana poyabzal qo‘shilsa — yana bir qavat shox: $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ . Bu ko‘paytirish qoidasi: «birinchi tanlov va ikkinchi tanlov» bo‘lsa, variantlar ko‘paytiriladi. Birinchi pog‘onada daraxtni o‘zingiz o‘stiring.

Qo‘shish qoidasi: «yoki»

Toshkentdan Samarqandga 3 ta poyezd yoki 2 ta avtobus bilan borish mumkin — jami $3 + 2 = 5$ yo‘l. Guruhlar birgalikda bo‘lmasa (bir vaqtda ham poyezd, ham avtobus bo‘lib bo‘lmaydi), variantlar qo‘shiladi. Keyin Samarqanddan Buxoroga 2 yo‘l bo‘lsa, Toshkent → Buxoro marshrutlari: $(3 + 2) \cdot 2 = 10$ — avval «yoki», keyin «va». Ikkinchi usul — jadval: satrlar birinchi tanlov, ustunlar ikkinchisi, kataklar soni — javob.

O‘rin almashtirishlar: n!

3 ta kitobni javonga qo‘yamiz. 1-o‘ringa istalgan kitob — 3 variant, 2-o‘ringa qolgan ikkitasidan biri — 2 variant, oxirgisiga bittasi qoladi: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ . Umuman $n$ ta narsa uchun $n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 1 = n!$ (« $n$ faktorial»). Masalan, $4! = 24$ , $5! = 120$ — faktorial juda tez o‘sadi. Uchinchi pog‘onada hamma joylashuvlar birinchi kitobga qarab guruhlanadi: har guruhda $(n - 1)!$ ta, guruhlar $n$ ta.

Tanlash (tartibli ro‘yxat) usuli

Kichik masalani tizimli ro‘yxat bilan yechish mumkin: 1, 2, 3 raqamlaridan ikki xonali sonlar — avval 1 bilan boshlanadiganlar (11, 12, 13), keyin 2 bilan, keyin 3 bilan: $3 \cdot 3 = 9$ ta. Raqamlar takrorlanmasin desak, 11, 22, 33 chiqib ketadi: $3 \cdot 2 = 6$ — ikkinchi xonaga bitta kam raqam qoladi. Ro‘yxat tartibli bo‘lsa, hech narsa unutilmaydi va ikki marta sanalmaydi — to‘rtinchi pog‘onada tekshiring.

Masalalar turlari

Har bir sanash masalasida ikkita savol beriladi: tartib muhimmi (12 va 21 — har xilmi?) va takror mumkinmi (bir narsa ikki marta olinadimi?). Tartib muhim, takror mumkin — PIN kod: $10^{4}$ . Tartib muhim, takrorsiz — sovrindorlar o‘rinlari: $8 \cdot 7 \cdot 6$ . Tartib muhim emas, takrorsiz — ikki vakilni tanlash: $\frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ (har juftlik ikki marta sanalgan). Tartib muhim emas, takror bor — muzqaymoq sharlari: ro‘yxat bilan sanaladi. Beshinchi pog‘onada masalani turiga ajrating.

Model haqida

Chizmalarda kichik sonlar ishlatiladi: daraxtda 36 tagacha barg, javonda 5 tagacha kitob (120 joylashuvdan faqat bir qismi chiziladi), ro‘yxatda 64 tagacha son — qoida esa istalgan son uchun ishlaydi. Guruhlashlar soni $C_{n}^{k}$ va Nyuton binomi 11-sinfda o‘rganiladi; bu yerda tartib muhim bo‘lmagan masalalar faqat ro‘yxat va «juftlik ikki marta sanaladi» mulohazasi bilan yechiladi.

Bilasizmi?

52 ta kartadan iborat to‘plamni aralashtirish usullari soni $52! \approx 8 \cdot 10^{67}$ — koinotdagi yulduzlar sonidan ham ko‘p; ehtimol, har aralashtirishda yangi tartib chiqadi.
« $n!$ » belgisini 1808-yilda fransuz matematigi Kristian Kramp kiritgan; ungacha faktorial uzun ko‘paytma ko‘rinishida yozilgan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Statistika: o‘rta, mediana, σ — 8-sinf
Ehtimollik: tanga, zar, Venn — 9-sinf