Математика · Числа и вычисления · 7 класс

Степень: от сгибания к формуле

Во сколько раз станет толще бумага, если сложить её 10 раз? Сколько бактерий будет за ночь?

Ситуация

Лист тетради имеет толщину 0,1 мм. Сложим его вдвое — 2 слоя, ещё раз — 4, ещё — 8. Если сложить его десять раз, получится 1024 слоя: толщина превысит 10 сантиметров! С бактериями то же самое: каждые 20 минут каждая делится надвое — сколько их будет к утру из одной? Для многократного умножения одного и того же числа в математике есть краткая запись — степень. Её правила мы откроем сами с помощью клеточек.

Тема

Степень с натуральным показателем и её свойства. Сложенный лист бумаги и деление бактерии надвое: от повторного умножения к степени, свойства степени на клетках

Ключевые понятия

Степень
Основание и показатель
Свойства степени

Формулы

a^{n} = \underset{n}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}

Степень с натуральным показателем: $a$ — основание, $n$ — показатель (число множителей). $a^{1} = a$ .

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, a^{m} : a^{n} = a^{m - n} (m > n)

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются. Основание не меняется!

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}, {(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}, {(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

Степень степени, степень произведения и степень дроби.

a^{0} = 1 (a \neq 0), 0,1 mm \cdot 2^{10} = 102,4 mm

Нулевой показатель: $a^{m} : a^{m} = 1$ . Толщина бумаги, сложенной десять раз.

Теория

Повторное умножение — степень

При каждом сгибании бумаги число слоёв увеличивается в 2 раза: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ . Произведение одинаковых множителей записывают кратко: $2^{4}$ — «два в четвёртой степени». Повторяющееся число — основание ( $2$ ), сколько раз оно взято — показатель ( $4$ ). Вычисление степени называют возведением в степень. Обратите внимание: $2^{4} = 16$ , но $2 \cdot 4 = 8$ — степень не есть произведение! Если множитель один, то $a^{1} = a$ .

Квадрат и куб

Вторая степень называется квадратом: $a^{2} = a \cdot a$ — число клеток в квадрате со стороной $a$ ( $3^{2} = 9$ ). Третья степень — куб: $a^{3} = a \cdot a \cdot a$ — число кубиков в кубе с ребром $a$ ( $3^{3} = 27$ ): $3$ слоя по $9$ кубиков. Следите за знаком при отрицательном основании: ${(- 2)}^{3} = - 8$ , ${(- 2)}^{4} = 16$ — при чётном показателе результат положителен, при нечётном отрицателен. $- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16$ : без скобок минус в степень не входит.

Умножение и деление

$2^{3} \cdot 2^{2} = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)$ — всего $3 + 2 = 5$ множителей: $2^{5}$ . Правило: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ . При делении множители сокращаются парами: $2^{5} : 2^{2} = 2^{3}$ , то есть $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ . Если $m = n$ , сокращаются все множители и остаётся $1$ — поэтому принимают $a^{0} = 1$ ( $a \neq 0$ ). Ошибки: $2^{3} \cdot 2^{2} \neq 4^{5}$ (основания не перемножаются), а $2^{3} \cdot 3^{2}$ в одну степень не превратить.

Степень степени, степень произведения

${(2^{3})}^{2} = 2^{3} \cdot 2^{3}$ — $2$ ряда по $3$ множителя, всего $3 \cdot 2 = 6$ : ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ . Если квадрат со стороной $2 \cdot 3 = 6$ разбить на $2 \times 2$ блока, в каждом блоке $3^{2}$ клеток: ${(2 \cdot 3)}^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . Вообще ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ и ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ . Запись со степенями сжимает и разложение на простые множители: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ (эксперимент «Простые числа»).

Рост и степени числа 10

$2 n$ на каждом шаге увеличивается на $2$ , а $2^{n}$ — в $2$ раза: при $n = 10$ получаем $20$ и $1024$ . Поэтому сложенная бумага, делящиеся бактерии и проценты в банке растут «взрывообразно». Степени числа $10$ — разрядные единицы: $10^{3} = 1000$ , $10^{6} = 1 000 000$ . Большие числа записывают в стандартном виде: $380 000 = 3,8 \cdot 10^{5}$ , где $1 \leq a < 10$ ; бумага, сложенная десять раз, имеет толщину $102 400$ мкм $= 1,024 \cdot 10^{5}$ мкм.

О модели

В эксперименте показатель — натуральное число ( $n \geq 1$ ) и нуль; отрицательные и дробные показатели — в эксперименте «Квадратный и кубический корень». На чертежах число клеток ограничено (самое большее несколько сотен), а формулы верны для любых чисел. Настоящую бумагу вручную нельзя сложить больше 7–8 раз (при каждом сгибании ширина уменьшается вдвое), а бактерии размножаются, пока не кончится пища — рост $2^{n}$ не продолжается бесконечно.

Знаете ли вы?

По легенде, изобретатель шахмат попросил в награду за первую клетку доски 1 зерно пшеницы, за вторую — 2, за третью — 4 и так далее. Всего $2^{64} - 1 = 18 446 744 073 709 551 615$ зёрен — это примерно тысячелетний урожай всего мира.
Запись показателя маленькой цифрой сверху ( $x^{3}$ ) распространилась после «Геометрии» (1637) французского математика Рене Декарта. Американская школьница Бритни Галливан в 2002 году сложила длинную бумажную ленту 12 раз и вывела формулу числа сгибов.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Дроби: от пиццы к формуле — 5 класс
Простые числа, НОД и НОК — 7 класс
Числовая прямая: от −7 до √2 — 7 класс
Корень: от квадрата до степени — 8 класс