Matematika · Sonlar va hisoblash · 7-sinf

Daraja: buklashdan formulagacha

Qog‘ozni 10 marta buklasangiz qalinligi qancha? Bakteriya bir kechada nechta bo‘ladi?

Vaziyat

Daftar varag‘ining qalinligi 0,1 mm. Uni ikki buklang — 2 qatlam, yana buklang — 4, yana — 8. O‘n marta buklasangiz 1024 qatlam bo‘ladi: qalinligi 10 santimetrdan oshadi! Bakteriya ham shunday: har 20 minutda ikkiga bo‘linadi — ertalabgacha bittadan nechta bo‘ladi? Bir xil sonni qayta-qayta ko‘paytirish uchun matematikada qisqa yozuv bor — daraja. Uning qoidalarini kataklar bilan o‘zimiz kashf etamiz.

Mavzu

Natural ko‘rsatkichli daraja va uning xossalari. Qog‘ozni buklash va bakteriyaning ikkiga bo‘linishi: takroriy ko‘paytmadan darajaga, daraja xossalari kataklarda

Asosiy tushunchalar

Daraja
Asos va ko‘rsatkich
Daraja xossalari

Formulalar

a^{n} = \underset{n}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}

Natural ko‘rsatkichli daraja: $a$ — asos, $n$ — ko‘rsatkich (nechta ko‘paytuvchi). $a^{1} = a$ .

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, a^{m} : a^{n} = a^{m - n} (m > n)

Asoslari bir xil darajalarni ko‘paytirganda ko‘rsatkichlar qo‘shiladi, bo‘lganda — ayiriladi. Asos o‘zgarmaydi!

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}, {(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}, {(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

Darajaning darajasi, ko‘paytmaning va kasrning darajasi.

a^{0} = 1 (a \neq 0), 0,1 mm \cdot 2^{10} = 102,4 mm

Nol ko‘rsatkich: $a^{m} : a^{m} = 1$ . O‘n marta buklangan qog‘ozning qalinligi.

Nazariya

Takroriy ko‘paytma — daraja

Qog‘oz har buklanganda qatlamlar 2 marta ko‘payadi: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ . Bir xil ko‘paytuvchilar ko‘paytmasi qisqa yoziladi: $2^{4}$ — «ikkining to‘rtinchi darajasi». Takrorlanayotgan son — asos ( $2$ ), necha marta olingani — ko‘rsatkich ( $4$ ). Darajani hisoblash darajaga ko‘tarish deyiladi. E’tibor bering: $2^{4} = 16$ , lekin $2 \cdot 4 = 8$ — daraja ko‘paytma emas! Bitta ko‘paytuvchi bo‘lsa, $a^{1} = a$ .

Kvadrat va kub

Ikkinchi daraja kvadrat deyiladi: $a^{2} = a \cdot a$ — tomoni $a$ bo‘lgan kvadratdagi kataklar soni ( $3^{2} = 9$ ). Uchinchi daraja — kub: $a^{3} = a \cdot a \cdot a$ — qirrasi $a$ bo‘lgan kubdagi kubiklar soni ( $3^{3} = 27$ ): $3$ ta qatlam, har birida $9$ ta. Manfiy asosda ishoraga qarang: ${(- 2)}^{3} = - 8$ , ${(- 2)}^{4} = 16$ — juft ko‘rsatkichda natija musbat, toqda manfiy. $- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16$ : qavs bo‘lmasa, minus darajaga kirmaydi.

Ko‘paytirish va bo‘lish

$2^{3} \cdot 2^{2} = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)$ — jami $3 + 2 = 5$ ta ko‘paytuvchi: $2^{5}$ . Qoida: asoslari bir xil darajalar ko‘paytirilganda ko‘rsatkichlar qo‘shiladi: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ . Bo‘lishda juft-juft qisqaradi: $2^{5} : 2^{2} = 2^{3}$ , ya’ni $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ . Agar $m = n$ bo‘lsa, hamma ko‘paytuvchi qisqaradi va $1$ qoladi — shuning uchun $a^{0} = 1$ deb olinadi ( $a \neq 0$ ). Xatolar: $2^{3} \cdot 2^{2} \neq 4^{5}$ (asoslar ko‘paytirilmaydi), $2^{3} \cdot 3^{2}$ ni esa bitta daraja qilib bo‘lmaydi.

Darajaning darajasi, ko‘paytmaning darajasi

${(2^{3})}^{2} = 2^{3} \cdot 2^{3}$ — $2$ ta qator, har birida $3$ ta ko‘paytuvchi, jami $3 \cdot 2 = 6$ : ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ . Tomoni $2 \cdot 3 = 6$ bo‘lgan kvadratni $2 \times 2$ ta blokka bo‘lsak, har blokda $3^{2}$ katak: ${(2 \cdot 3)}^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . Umuman ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ va ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ . Daraja yozuvi tub ko‘paytuvchilarni ham ixchamlaydi: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ («Tub sonlar» tajribasi).

O‘sish va 10 ning darajalari

$2 n$ har qadamda $2$ ga ortadi, $2^{n}$ esa $2$ marta ortadi: $n = 10$ da $20$ va $1024$ . Shuning uchun buklangan qog‘oz, bo‘linayotgan bakteriyalar, bankdagi foiz «portlab» o‘sadi. $10$ ning darajalari xona birliklari: $10^{3} = 1000$ , $10^{6} = 1 000 000$ . Katta sonlar standart shaklda yoziladi: $380 000 = 3,8 \cdot 10^{5}$ , bunda $1 \leq a < 10$ ; buklangan qog‘oz $102 400$ mkm $= 1,024 \cdot 10^{5}$ mkm.

Model haqida

Tajribada ko‘rsatkich natural son ( $n \geq 1$ ) va nol; manfiy hamda kasr ko‘rsatkichlar «Kvadrat va kub ildiz» tajribasida. Chizmalarda kataklar soni cheklangan (eng ko‘pi bilan bir necha yuz), formulalar esa istalgan son uchun to‘g‘ri. Haqiqiy qog‘ozni qo‘lda 7–8 martadan ko‘p buklab bo‘lmaydi (har buklashda kenglik ikki marta kamayadi), bakteriyalar ham oziq tugaguncha ko‘payadi — $2^{n}$ o‘sish cheksiz davom etmaydi.

Bilasizmi?

Rivoyatga ko‘ra, shaxmat ixtirochisi mukofotga taxtaning birinchi katagiga 1 dona, ikkinchisiga 2, uchinchisiga 4 … dona bug‘doy so‘ragan. Jami $2^{64} - 1 = 18 446 744 073 709 551 615$ dona — butun dunyoning taxminan ming yillik hosili.
Ko‘rsatkichni yuqoriga kichik qilib yozish ( $x^{3}$ ) fransuz matematigi Rene Dekartning «Geometriya» (1637) asaridan tarqalgan. Amerikalik o‘quvchi Britni Gallivan 2002-yilda uzun qog‘oz tasmasini 12 marta buklab, buklashlar soni formulasini ham chiqargan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.