Matematika · Sonlar va hisoblash · 7-sinf

Sonlar o‘qi: −7 dan √2 gacha

Kechasi −7 °C, kunduzi +4 °C — farq qancha? Nega √2 ni aniq yozib bo‘lmaydi?

Vaziyat

Toshkentda qish kechasi termometr −7 °C ni, kunduzi +4 °C ni ko‘rsatdi — harorat necha gradusga ko‘tarildi? Lift −2-qavatdagi avtoturargohdan 5-qavatga chiqadi, bank kartasidagi qarz ham manfiy son bilan yoziladi. Sonlar o‘qida butun sonlar orasida kasrlar bor, kasrlar orasida esa… yana nimadir: kvadrat hovlining diagonalini hech qanday chizg‘ich bilan aniq o‘lchab bo‘lmaydi. Nega? Sonlar o‘qi bo‘ylab sayohat qilamiz.

Mavzu

Manfiy sonlar va sonlar o‘qi; butun, ratsional, irratsional va haqiqiy sonlar. Termometr, lift qavatlari va bank qarzi: manfiy sonlar; kvadrat diagonali √2 — chekli o‘nli kasr bilan yozib bo‘lmaydigan son

Asosiy tushunchalar

Manfiy sonlar
Ratsional sonlar
Irratsional sonlar

Formulalar

| - 7 | = 7, 4 - (- 7) = 4 + 7 = 11

Modul — sondan nolgacha masofa. Ayirish — qarama-qarshi sonni qo‘shish.

(- 3) \cdot 4 = - 12, (- 3) \cdot (- 4) = 12, 12 : (- 4) = - 3

Ishoralar qoidasi: har xil ishorali sonlar ko‘paytmasi (bo‘linmasi) manfiy, bir xil ishoralilarniki musbat.

\frac{1}{3} = 0,333 \dots = 0, (3), \frac{3}{8} = 0,375

Ratsional son $\frac{p}{q}$ ning o‘nli yoyilmasi yo chekli, yo davriy.

\sqrt{2} = 1,41421356 \dots, π = 3,14159265 \dots

Irratsional son — cheksiz, davriy bo‘lmagan o‘nli kasr; kasr ko‘rinishida yozib bo‘lmaydi.

Nazariya

Manfiy sonlar va sonlar o‘qi

Noldan past harorat, yer osti qavati, qarz — manfiy sonlar. Sonlar o‘qida 0 dan o‘ngda musbat, chapda manfiy sonlar yotadi. Faqat ishorasi bilan farq qiluvchi $7$ va $- 7$ — qarama-qarshi sonlar: 0 dan bir xil uzoqlikda. Shu uzoqlik — modul: $| - 7 | = | 7 | = 7$ . O‘qda chapdagi son kichik: $- 7 < - 2 < 0 < 4$ . Manfiy sonlarda moduli kattasi kichikroq!

Butun sonlarni qo‘shish va ayirish

Musbat son qo‘shish — o‘qda o‘ngga sakrash, manfiy son qo‘shish — chapga: $(- 7) + 11 = 4$ . Ayirish — qarama-qarshi sonni qo‘shish: $3 - 5 = 3 + (- 5) = - 2$ , $(- 3) - (- 8) = - 3 + 8 = 5$ . Shuning uchun harorat farqi $4 - (- 7) = 4 + 7 = 11$ gradus. Qoida: ishoralari bir xil sonlarda modullar qo‘shiladi va ishora saqlanadi; har xil bo‘lsa — modullar ayiriladi, ishora moduli kattasiniki.

Ko‘paytirish va bo‘lish

$(- 3) \cdot 4$ — $- 3$ ni 4 marta qo‘shish: 4 ta sakrash chapga, natija $- 12$ . Manfiy songa ko‘paytirish sakrashni teskari buradi: $(- 3) \cdot (- 4) = 12$ . Qoida: har xil ishorali sonlar ko‘paytmasi manfiy, bir xil ishoralilarniki musbat; bo‘lish ham shunday: $12 : (- 4) = - 3$ , $(- 12) : (- 4) = 3$ . $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ ekani taqsimot qonunidan kelib chiqadi: $(- 1) \cdot (1 + (- 1)) = 0$ . Nolga bo‘lish mumkin emas.

Ratsional sonlar

$\frac{p}{q}$ ko‘rinishida yoziladigan sonlar ( $p$ — butun, $q$ — natural) ratsional sonlar. Butun sonlar ham ratsional: $3 = \frac{3}{1}$ . Suratni maxrajga burchak usulida bo‘lsak, o‘nli yoyilma chiqadi: $\frac{3}{8} = 0,375$ — chekli, $\frac{1}{3} = 0,333 \dots = 0, (3)$ — davriy (qoldiq takrorlanadi). Istalgan ikki ratsional son orasida yana ratsional son bor — ular o‘qda juda zich, lekin o‘qni to‘ldirmaydi.

Irratsional va haqiqiy sonlar

Tomoni 1 bo‘lgan kvadratning diagonali $d^{2} = 1 + 1 = 2$ , $d = \sqrt{2}$ . Agar $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ qisqarmas kasr bo‘lsa, $p^{2} = 2 q^{2}$ — $p$ juft, $p = 2 k$ , u holda $q^{2} = 2 k^{2}$ — $q$ ham juft. Kasr qisqarar edi — ziddiyat! $\sqrt{2}$ — irratsional: yoyilmasi cheksiz va davriy emas; $π$ ham shunday. Ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlar — ular o‘qni bo‘shliqsiz to‘ldiradi: $ℕ \subset ℤ \subset ℚ \subset ℝ$ . Ular ustida amallar taqribiy qiymatlar bilan bajariladi: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1,414 + 1,732 = 3,146$ ; taqqoslashda o‘qda chapdagisi kichik.

Model haqida

O‘q chizmada chegaralangan (eng ko‘pi $\pm 40$ ), haqiqiy o‘q esa cheksiz. Irratsional sonlar ekranda 7–8 xona aniqlikda ko‘rsatiladi — bu taqribiy qiymat, sonning o‘zi emas. Termometr Selsiy shkalasida; tabiatda $- 273,15$ °C dan past harorat yo‘q, o‘qda esa manfiy sonlar cheksiz davom etadi. $\sqrt{n}$ ni tomonlari butun to‘g‘ri to‘rtburchak diagonali bilan yasash faqat $n = a^{2} + b^{2}$ bo‘lganda ko‘rsatilgan; qolganlari ham sirkul bilan yasaladi.

Bilasizmi?

Manfiy sonlar bilan hisoblash qoidalarini hind matematigi Braxmagupta 628-yilgi «Braxmasphuta-siddhanta» asarida bayon qilgan: musbat sonlarni «boylik», manfiylarni «qarz» deb atagan. Yevropada «+» va «−» belgilari birinchi marta 1489-yilda Iogann Vidmanning hisob kitobida bosilgan.
$\sqrt{2}$ ning irratsionalligini miloddan avvalgi V asrda pifagorchilar kashf etgan; rivoyatga ko‘ra, sirni oshkor qilgan Gippas dengizga tashlangan. $π$ ning yoyilmasi 2024-yilga kelib 100 trilliondan ortiq xonagacha hisoblangan — davriylik yo‘q va bo‘lmaydi ham: $π$ ning irratsionalligini 1761-yilda Iogann Lambert isbotlagan.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Kasrlar: pitsadan formulagacha — 5-sinf
Tub sonlar, EKUB va EKUK — 7-sinf
Daraja: buklashdan formulagacha — 7-sinf
Ildiz: kvadratdan darajagacha — 8-sinf