Matematika · Sonlar va hisoblash · 8-sinf

Ildiz: kvadratdan darajagacha

Yuzi 50 m² kvadrat xonaning tomoni qancha? Kataklar bilan topilmaydi

Vaziyat

Yuzi 50 m² bo‘lgan kvadrat xonaning tomoni qancha? 7 × 7 = 49 — kam, 8 × 8 = 64 — ko‘p: tomon 7 bilan 8 orasida, lekin kataklar bilan topilmaydi. 1 litrli kub idishning qirrasi-chi? Bu savollarga ildiz javob beradi: √50 ni «siqib» topamiz, ∛1000 ni kubdan o‘qiymiz, so‘ng ildizning xossalari va daraja ko‘rinishiga chiqamiz.

Mavzu

Kvadrat va kub ildiz, arifmetik ildiz va xossalari, ratsional ko‘rsatkichli daraja. Yuzi 50 m² bo‘lgan kvadrat xonaning tomoni va 1 litrli kub idishning qirrasi: ildiz, taqribiy qiymat, ildizning daraja ko‘rinishi

Asosiy tushunchalar

Kvadrat va kub ildiz
Arifmetik ildiz
a^(m/n) = ⁿ√aᵐ

Formulalar

\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b \geq 0, b^{2} = a (a \geq 0)

Arifmetik kvadrat ildiz: kvadrati $a$ ga teng bo‘lgan manfiy bo‘lmagan son. ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ , $\sqrt{a^{2}} = | a |$ .

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \geq 0, b > 0)

Ko‘paytma va bo‘linmaning ildizi; bundan ko‘paytuvchini ildiz ostidan chiqarish: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt{2}$ .

\sqrt[3]{V} = a \Leftrightarrow a^{3} = V

Kub ildiz: hajmi $V$ bo‘lgan kubning qirrasi. $\sqrt[3]{1000} = 10$ , $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ (toq daraja — manfiy son ham bo‘ladi).

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} (a > 0)

Ratsional ko‘rsatkichli daraja: $a^{1 / 2} = \sqrt{a}$ , $a^{1 / 3} = \sqrt[3]{a}$ ; daraja xossalari ( $a^{p} a^{q} = a^{p + q}$ , ${(a^{p})}^{q} = a^{p q}$ ) saqlanadi.

Nazariya

Kvadrat ildiz — «siqib» topish

Yuzi $S$ bo‘lgan kvadratning tomoni $\sqrt{S}$ (« $S$ ning kvadrat ildizi»): $\sqrt{49} = 7$ , chunki $7^{2} = 49$ . $S = 50$ bo‘lsa tomon butun emas: $7^{2} = 49 < 50 < 64 = 8^{2}$ , demak $7 < \sqrt{50} < 8$ . O‘nliklarni sinaymiz: ${7,0}^{2} = 49$ , ${7,1}^{2} = 50,41$ — demak $7,0 < \sqrt{50} < 7,1$ ; yuzliklar: ${7,07}^{2} = 49,98$ , ${7,08}^{2} = 50,13$ . Shunday qilib $\sqrt{50} \approx 7,07$ — kerakli aniqlikkacha davom ettirish mumkin. $\sqrt{50}$ ratsional son emas: uning o‘nli yozuvi cheksiz va davriy emas.

Kub ildiz

Hajmi $V$ bo‘lgan kubning qirrasi $\sqrt[3]{V}$ : $a^{3} = V$ . 1 litr $= 1000$ sm³, demak litrli kub idishning qirrasi $\sqrt[3]{1000} = 10$ sm. Hajmni ikki marta oshirsak qirra ikki marta emas, $\sqrt[3]{2} \approx 1,26$ marta uzayadi: $\sqrt[3]{2000} \approx 12,6$ sm. Kub ildiz manfiy sondan ham olinadi: $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ , chunki ${(- 2)}^{3} = - 8$ .

Arifmetik ildiz

$x^{2} = 4$ tenglamaning ikkita yechimi bor: $2$ va $- 2$ . Ularning manfiy bo‘lmagani — arifmetik kvadrat ildiz: $\sqrt{4} = 2$ (hech qachon $\pm 2$ emas!). Shuning uchun $\sqrt{a}$ — bitta son, grafigi $y = \sqrt{x}$ — parabolaning o‘ng yarmini $y = x$ chizig‘iga nisbatan aks ettirgan egri chiziq. Ta’rifdan: ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ ; teskarisi ehtiyot talab qiladi: $\sqrt{a^{2}} = | a |$ , masalan $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = 4$ . Manfiy sonning kvadrat ildizi haqiqiy sonlarda yo‘q.

Xossalari va ko‘paytuvchini chiqarish

Tomoni $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ bo‘lgan kvadratning yuzi ${(\sqrt{a})}^{2} {(\sqrt{b})}^{2} = a b$ , demak tomoni $\sqrt{a b}$ ham: $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ ( $a, b \geq 0$ ). Xuddi shunday $\sqrt{a / b} = \sqrt{a} / \sqrt{b}$ ( $b > 0$ ). Bundan ko‘paytuvchini ildiz ostidan chiqarish: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt{2}$ — tomoni $5 \sqrt{2}$ bo‘lgan kvadrat $25$ ta $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ katakdan iborat, har biri yuzi 2. Teskarisi — kiritish: $5 \sqrt{2} = \sqrt{50}$ . Yig‘indi uchun bunday xossa yo‘q: $\sqrt{9 + 16} = 5 \neq 3 + 4$ .

Ratsional ko‘rsatkichli daraja

$a^{1 / 2}$ nima? Daraja xossasi saqlansin desak, $a^{1 / 2} \cdot a^{1 / 2} = a^{1 / 2 + 1 / 2} = a$ — ya’ni $a^{1 / 2}$ kvadrati $a$ ga teng musbat son: $a^{1 / 2} = \sqrt{a}$ . Umuman $a^{m / n} = \sqrt[n]{a^{m}}$ ( $a > 0$ ): $8^{2 / 3} = \sqrt[3]{64} = 4$ , $2^{- 1 / 2} = 1 / \sqrt{2}$ . Grafikda bu nuqtalar $y = a^{x}$ silliq egri chizig‘ida butun nuqtalar orasida yotadi. Ifodalarni soddalashtirishda daraja qoidalari ishlaydi: ${(a^{1 / 2} a^{1 / 3})}^{6} = {(a^{5 / 6})}^{6} = a^{5}$ . Irratsional tenglamada ( $\sqrt{x + 3} = x - 3$ ) ikkala tomon kvadratga ko‘tariladi — bu chet ildiz qo‘shishi mumkin, javob tekshiriladi.

Model haqida

Butun bo‘lmagan ildizlar ikki o‘nli raqamgacha yaxlitlab ko‘rsatiladi («≈»); aniq qiymat $\sqrt{50}$ , $5 \sqrt{2}$ kabi yoziladi. Sliderlar chegaralangan: yuza 100 gacha, hajm 1000 sm³ gacha; kvadrat chizmasi doim bir xil kattalikda — masshtab sonlarga qarab o‘zgaradi. Ratsional ko‘rsatkichli daraja faqat musbat asos uchun qaraladi; manfiy asosda ( ${(- 8)}^{1 / 3}$ ) ta’rif kelishilmagan, shuning uchun ko‘rsatilmaydi.

Bilasizmi?

Ildiz belgisi «√» 1525-yilda nemis matematigi Kristof Rudolfning «Die Coss» kitobida paydo bo‘lgan — u lotincha «radix» (ildiz) so‘zining «r» harfidan kelib chiqqan deb hisoblanadi; ildiz ostidagi ifoda ustiga chiziq qo‘yishni 1637-yilda Rene Dekart joriy etgan.
Bobil sopol lavhasi YBC 7289 (taxminan mil. av. 1800–1600-yillar) kvadrat diagonalida $\sqrt{2}$ ning oltmishlik yozuvini beradi: 1;24,51,10 — bu o‘nlikda 1,41421296…, ya’ni olti o‘nli raqamgacha to‘g‘ri.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Kasrlar: pitsadan formulagacha — 5-sinf
Tub sonlar, EKUB va EKUK — 7-sinf
Sonlar o‘qi: −7 dan √2 gacha — 7-sinf
Daraja: buklashdan formulagacha — 7-sinf