Matematika · Sonlar va hisoblash · 5-sinf

Kasrlar: pitsadan formulagacha

Pitsaning 3/8 qismi ko‘pmi yoki 5/8 qismi? Qanday qo‘shiladi?

Vaziyat

Do‘stlar bilan pitsaxonadasiz. Pitsa 8 ta teng bo‘lakka kesilgan: siz 3 ta, do‘stingiz 2 ta bo‘lak oldi. Kim ko‘proq yedi — bu aniq. Lekin bitta pitsaning 3/8 qismi bilan boshqa pitsaning 1/2 qismini qanday taqqoslaymiz, ularni qanday qo‘shamiz? Bo‘laklarni kesib, sanab, o‘zimiz kashf etamiz.

Mavzu

Kasrlar: teng kasrlar, taqqoslash, qo‘shish va ko‘paytirish. Pitsa va shokolad: butunning qismi, bo‘laklarni maydalash, umumiy maxraj va yuza modeli

Asosiy tushunchalar

Kasr
Teng kasrlar
Umumiy maxraj

Formulalar

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

Kasrning asosiy xossasi: surat va maxrajni bir xil songa ko‘paytirsak (yoki bo‘lsak), kasr o‘zgarmaydi.

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}

Qo‘shish: avval umumiy maxraj, keyin suratlar qo‘shiladi (maxrajlar qo‘shilmaydi!).

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Ko‘paytirish: surat suratga, maxraj maxrajga — yuza modelida kataklar soni.

\frac{n}{d} = q \frac{r}{d}, n = q \cdot d + r

Noto‘g‘ri kasrni aralash songa aylantirish: $q$ — butun pitsalar, $r$ — qolgan bo‘laklar.

Nazariya

Kasr — butunning qismi

Pitsani teng bo‘laklarga kesamiz. Kasrning maxraji (chiziq ostidagi son) — jami nechta bo‘lak, surati (chiziq ustidagi son) — nechta bo‘lak olinganini ko‘rsatadi: $\frac{3}{8}$ — sakkizdan uchta. Bo‘laklar teng bo‘lmasa, kasr haqida gapirib bo‘lmaydi. Maxraj qancha katta bo‘lsa, har bir bo‘lak shuncha kichik: $\frac{1}{8}$ bo‘lak $\frac{1}{4}$ bo‘lakdan ikki marta kichik.

Teng kasrlar: kesishni davom ettiramiz

Yarim pitsani ( $\frac{1}{2}$ ) olib, har bir bo‘lakni yana ikkiga kessak, 4 bo‘lakdan 2 tasi ( $\frac{2}{4}$ ) bo‘ladi — pitsa miqdori o‘zgarmadi. Shuning uchun $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ : son o‘qida hammasi bitta nuqtada. Bu kasrning asosiy xossasi: surat va maxrajni bir xil songa ko‘paytirish yoki bo‘lish kasrni o‘zgartirmaydi. Bo‘lish qisqartirish deyiladi: $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .

Taqqoslash: umumiy maxraj

Maxrajlari bir xil kasrlarda surati kattasi katta. Maxrajlari har xil bo‘lsa, bo‘laklar har xil kattalikda — avval ularni bir xil qilamiz: ikkala maxrajga bo‘linadigan son (eng kichik umumiy karrali) ni olamiz va har bir kasrni shu maxrajga keltiramiz. $\frac{3}{4}$ va $\frac{5}{8}$ uchun umumiy maxraj 8: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} > \frac{5}{8}$ .

Qo‘shish va ayirish

Faqat bir xil bo‘laklarni sanab qo‘shish mumkin: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ — maxraj o‘zgarmaydi, suratlar qo‘shiladi. Maxrajlar har xil bo‘lsa ( $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ), bo‘laklarni avval umumiy maxrajga keltiramiz: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ . Eng keng tarqalgan xato — maxrajlarni ham qo‘shish: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \neq \frac{2}{4}$ , chunki ikki yarim — bu butun pitsa.

Aralash sonlar va ko‘paytirish

Surat maxrajdan katta bo‘lsa, kasr noto‘g‘ri: $\frac{7}{4}$ — bir butun pitsa va yana $\frac{3}{4}$ , ya’ni $1 \frac{3}{4}$ . Butun qism — $7 : 4$ bo‘linmasi, qoldiq — yangi surat. Ko‘paytirish «qismning qismi» degani: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ — to‘rtdan uch qismning yarmi. Yuza modelida katak eni $\frac{3}{4}$ , bo‘yi $\frac{1}{2}$ : $3 \cdot 1 = 3$ ta katak, jami $4 \cdot 2 = 8$ ta — $\frac{3}{8}$ .

Model haqida

Bu tajribada faqat musbat kasrlar va 12 tagacha bo‘laklar ko‘riladi (chizmada ko‘proq bo‘lak sig‘maydi); manfiy kasrlar va o‘nli kasrlar — keyingi mavzularda. Umumiy maxraj sifatida har doim eng kichik umumiy karrali olinadi; istalgan boshqa umumiy karrali ham to‘g‘ri javob beradi, faqat bo‘laklar ko‘proq bo‘ladi.

Bilasizmi?

«Kasr» so‘zi arabcha «kasara» — «sindirmoq» fe’lidan; lotincha «fractio» ham «sindirish» degani. Kasr — «singan», ya’ni bo‘laklangan son.
Samarqandda Ulug‘bek rasadxonasida ishlagan Jamshid al-Koshiy 1427-yilgi «Miftoh al-hisob» asarida o‘nli kasrlardan izchil foydalangan — Yevropada bu Simon Stevin (1585) bilan boshlanadi.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Tub sonlar, EKUB va EKUK — 7-sinf
Sonlar o‘qi: −7 dan √2 gacha — 7-sinf
Daraja: buklashdan formulagacha — 7-sinf
Ildiz: kvadratdan darajagacha — 8-sinf