Математика · Числа и вычисления · 5 класс

Дроби: от пиццы к формуле

Что больше — 3/8 пиццы или 5/8? Как их складывать?

Ситуация

Вы с друзьями в пиццерии. Пицца разрезана на 8 равных кусков: вы взяли 3 куска, а ваш друг — 2. Кто съел больше — понятно. Но как сравнить 3/8 одной пиццы с 1/2 другой и как их сложить? Мы откроем это сами, разрезая и считая куски.

Тема

Дроби: равные дроби, сравнение, сложение и умножение. Пицца и шоколад: часть целого, дробление долей, общий знаменатель и модель площади

Ключевые понятия

Дробь
Равные дроби
Общий знаменатель

Формулы

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить (или разделить) на одно и то же число, дробь не изменится.

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}

Сложение: сначала общий знаменатель, затем числители складываются (знаменатели не складываются!).

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель — в модели площади это число клеток.

\frac{n}{d} = q \frac{r}{d}, n = q \cdot d + r

Преобразование неправильной дроби в смешанное число: $q$ — целые пиццы, $r$ — оставшиеся куски.

Теория

Дробь — часть целого

Разрежем пиццу на равные куски. Знаменатель дроби (число под чертой) показывает, сколько всего кусков, а числитель (число над чертой) — сколько кусков взято: $\frac{3}{8}$ — три восьмых. Если куски не равны, о дроби говорить нельзя. Чем больше знаменатель, тем меньше каждый кусок: кусок $\frac{1}{8}$ вдвое меньше куска $\frac{1}{4}$ .

Равные дроби: продолжаем резать

Если взять половину пиццы ( $\frac{1}{2}$ ) и разрезать каждый кусок ещё пополам, получится 2 куска из 4 ( $\frac{2}{4}$ ) — количество пиццы не изменилось. Поэтому $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ : на числовой оси все они — одна точка. Это основное свойство дроби: умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет дробь. Деление называется сокращением: $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .

Сравнение: общий знаменатель

Если знаменатели одинаковы, больше та дробь, у которой больше числитель. Если знаменатели разные, куски имеют разный размер — сначала сделаем их одинаковыми: возьмём число, которое делится на оба знаменателя (наименьшее общее кратное), и приведём каждую дробь к этому знаменателю. Для $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{8}$ общий знаменатель 8: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} > \frac{5}{8}$ .

Сложение и вычитание

Складывать, считая куски, можно только одинаковые куски: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ — знаменатель не меняется, числители складываются. Если знаменатели разные ( $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ), сначала приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ . Самая распространённая ошибка — складывать и знаменатели: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \neq \frac{2}{4}$ , потому что две половины — это целая пицца.

Смешанные числа и умножение

Если числитель больше знаменателя, дробь неправильная: $\frac{7}{4}$ — это одна целая пицца и ещё $\frac{3}{4}$ , то есть $1 \frac{3}{4}$ . Целая часть — частное от деления $7 : 4$ , остаток — новый числитель. Умножение означает «часть от части»: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ — половина от трёх четвертей. В модели площади ширина клетки $\frac{3}{4}$ , длина $\frac{1}{2}$ : $3 \cdot 1 = 3$ клетки из $4 \cdot 2 = 8$ — это $\frac{3}{8}$ .

О модели

В этом эксперименте рассматриваются только положительные дроби и не более 12 кусков (больше на чертеже не помещается); отрицательные и десятичные дроби — в следующих темах. В качестве общего знаменателя всегда берётся наименьшее общее кратное; любое другое общее кратное тоже даст верный ответ, только кусков будет больше.

Знаете ли вы?

Слово «kasr» (дробь) происходит от арабского глагола «касара» — «ломать»; латинское «fractio» тоже значит «ломание». Дробь — «сломанное», то есть раздробленное число.
Джамшид аль-Каши, работавший в Самарканде в обсерватории Улугбека, в своём сочинении «Ключ арифметики» (1427 год) последовательно использовал десятичные дроби — в Европе это началось с Симона Стевина (1585).

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Простые числа, НОД и НОК — 7 класс
Числовая прямая: от −7 до √2 — 7 класс
Степень: от сгибания к формуле — 7 класс
Корень: от квадрата до степени — 8 класс