Математика · Числа и вычисления · 7 класс

Числовая прямая: от −7 до √2

Ночью −7 °C, днём +4 °C — какова разница? Почему √2 нельзя записать точно?

Открыть эксперимент

Ситуация

Зимней ночью в Ташкенте термометр показал −7 °C, днём +4 °C — на сколько градусов поднялась температура? Лифт едет с парковки на этаже −2 на 5-й этаж, долг на банковской карте тоже записывается отрицательным числом. На числовой прямой между целыми числами лежат дроби, а между дробями… есть ещё что-то: диагональ квадратного двора нельзя точно измерить никакой линейкой. Почему? Отправимся в путешествие по числовой прямой.

Тема

Отрицательные числа и числовая прямая; целые, рациональные, иррациональные и действительные числа. Термометр, этажи лифта и банковский долг: отрицательные числа; диагональ квадрата √2 — число, которое нельзя записать конечной десятичной дробью

Ключевые понятия

• Отрицательные числа
• Рациональные числа
• Иррациональные числа

Формулы

Модуль — расстояние от числа до нуля. Вычитание — это прибавление противоположного числа.

Правило знаков: произведение (частное) чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.

Десятичное разложение рационального числа $\frac{p}{q}$ либо конечно, либо периодично.

Иррациональное число — бесконечная непериодическая десятичная дробь; в виде дроби его записать нельзя.

Теория

Отрицательные числа и числовая прямая

Температура ниже нуля, подземный этаж, долг — отрицательные числа. На числовой прямой справа от 0 лежат положительные числа, слева — отрицательные. Числа $7$ и $-7$, отличающиеся только знаком, — противоположные числа: они находятся на одинаковом расстоянии от 0. Это расстояние — модуль: $|-7|=|7|=7$. На прямой левое число меньше: $-7<-2<0<4$. Среди отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше!

Сложение и вычитание целых чисел

Прибавить положительное число — прыжок по прямой вправо, прибавить отрицательное — влево: $(-7)+11=4$. Вычитание — прибавление противоположного числа: $3-5=3+(-5)=-2$, $(-3)-(-8)=-3+8=5$. Поэтому разность температур $4-(-7)=4+7=11$ градусов. Правило: у чисел с одинаковыми знаками модули складываются, знак сохраняется; у чисел с разными знаками модули вычитаются, знак берётся от числа с большим модулем.

Умножение и деление

$(-3)\cdot 4$ — это сложение $-3$ четыре раза: 4 прыжка влево, результат $-12$. Умножение на отрицательное число разворачивает прыжок: $(-3)\cdot (-4)=12$. Правило: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно; деление так же: $12:(-4)=-3$, $(-12):(-4)=3$. То, что $(-1)\cdot (-1)=1$, следует из распределительного закона: $(-1)\cdot (1+(-1))=0$. На нуль делить нельзя.

Рациональные числа

Числа, записываемые в виде $\frac{p}{q}$ ($p$ — целое, $q$ — натуральное), — рациональные числа. Целые числа тоже рациональные: $3=\frac{3}{1}$. Если разделить числитель на знаменатель уголком, получится десятичное разложение: $\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}$ — конечное, $\frac{1}{3}=\mathrm{0,333}\dots =\mathrm{0,}(3)$ — периодическое (остаток повторяется). Между любыми двумя рациональными числами есть ещё рациональное — на прямой они расположены очень плотно, но прямую не заполняют.

Иррациональные и действительные числа

Диагональ квадрата со стороной 1: $d^2=1+1=2$, $d=\sqrt{2}$. Пусть $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, тогда $p^2=2q^2$ — $p$ чётно, $p=2k$, и тогда $q^2=2k^2$ — $q$ тоже чётно. Дробь можно было бы сократить — противоречие! $\sqrt{2}$ — иррациональное число: его разложение бесконечно и непериодично; $\pi$ тоже. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют действительные числа — они заполняют прямую без пробелов: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ$. Действия над ними выполняются с приближёнными значениями: $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx \mathrm{1,414}+\mathrm{1,732}=\mathrm{3,146}$; при сравнении на прямой меньше левое.

О модели

Ось на чертеже ограничена (не более $\pm 40$), а действительная прямая бесконечна. Иррациональные числа показаны на экране с точностью 7–8 знаков — это приближённое значение, а не само число. Термометр показан по шкале Цельсия; в природе нет температуры ниже $-\mathrm{273,15}$ °C, а на прямой отрицательные числа продолжаются бесконечно. Построение $\sqrt{n}$ как диагонали прямоугольника с целыми сторонами показано только при $n=a^2+b^2$; остальные тоже строятся циркулем.

Знаете ли вы?

• Правила действий с отрицательными числами изложил индийский математик Брахмагупта в труде «Брахмаспхута-сиддханта» (628 год): положительные числа он называл «имуществом», отрицательные — «долгом». В Европе знаки «+» и «−» впервые напечатаны в 1489 году в счётной книге Иоганна Видмана.
• Иррациональность $\sqrt{2}$ открыли пифагорейцы в V веке до н. э.; по преданию, Гиппаса, разгласившего тайну, бросили в море. К 2024 году разложение $\pi$ вычислено более чем до 100 триллионов знаков — периодичности нет и быть не может: иррациональность $\pi$ доказал в 1761 году Иоганн Ламберт.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

• Дроби: от пиццы к формуле — 5 класс
• Простые числа, НОД и НОК — 7 класс
• Степень: от сгибания к формуле — 7 класс
• Корень: от квадрата до степени — 8 класс