Математика · Числа и вычисления · 7 класс

Простые числа, НОД и НОК

Два автобуса отправляются через 12 и 18 минут — когда они снова отправятся вместе? А какая нужна плитка?

Ситуация

От остановки «Чиланзар» автобус № 12 отправляется каждые 12 минут, автобус № 18 — каждые 18 минут; в 8:00 оба ушли вместе. Когда они снова отправятся вместе? Пол кухни 18 × 12 дм; мы хотим покрыть его без остатка самой большой одинаковой квадратной плиткой — какой она будет? На оба вопроса отвечают делители и кратные числа, а их «кирпичики» — простые числа.

Тема

Простые числа, разложение на простые множители, НОД и НОК. Два автобуса отходят от одной остановки через 12 и 18 минут — когда они снова будут вместе? Решето Эратосфена, дерево множителей, НОД на примере плитки

Ключевые понятия

Простое число
НОД
НОК

Формулы

360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Каждое натуральное число (кроме $1$ ) единственным образом раскладывается на простые множители; одинаковые множители записываются степенью.

НОД (18; 12) = 6, НОК (12; 18) = 36

Наибольший общий делитель — наибольшее число, на которое делятся оба числа; наименьшее общее кратное — наименьшее число, которое делится на оба.

12 = 2^{2} \cdot 3, 18 = 2 \cdot 3^{2} \Rightarrow НОД = 2 \cdot 3, НОК = 2^{2} \cdot 3^{2}

Табличный способ: НОД — наименьшие степени общих простых множителей, НОК — наибольшие степени всех множителей.

НОД (a; b) \cdot НОК (a; b) = a \cdot b

Для двух чисел произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел: $6 \cdot 36 = 12 \cdot 18$ .

Теория

Делители и кратные

$18 : 6 = 3$ без остатка — значит, число $6$ — делитель $18$ , а $18$ — кратное $6$ . Делители числа $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ — их конечное число; кратные $18, 36, 54, \dots$ — бесконечное. $1$ — делитель любого числа, каждое число — и делитель, и кратное самого себя. Признаки делимости помогают быстро найти множитель: оканчивается чётной цифрой — делится на $2$ , сумма цифр делится на $3$ — делится на $3$ , оканчивается на $0$ или $5$ — делится на $5$ .

Простые и составные числа

Число, у которого ровно два делителя ( $1$ и само число), — простое: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ ; если делителей больше двух — составное число. $1$ — ни простое, ни составное (у него один делитель). Решето Эратосфена: оставляем $2$ и вычёркиваем его кратные, затем кратные $3$ , $5$ , $7$ … До $100$ достаточно остановиться на $7$ , потому что $11^{2} = 121 > 100$ : у невычеркнутого числа, будь у него меньший делитель, он не превосходил бы $\sqrt{100} = 10$ . $2$ — единственное чётное простое число; простых чисел бесконечно много.

Разложение на простые множители

Составное число делим на два множителя, составные из них делим снова — листья дерева множителей — простые числа: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ . Как бы мы ни начали ( $360 = 36 \cdot 10$ или $4 \cdot 90$ ), набор листьев получается один и тот же — это основная теорема арифметики. Повторяющиеся множители компактно записываются степенью: $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ (эксперимент «Степень: от сгибания к формуле»). Способ «столбиком» — то же самое: делим число на наименьший простой делитель.

НОД — наибольший общий делитель

Общие делители $18$ и $12$ : $1, 2, 3, 6$ ; наибольший $6$ — $НОД (18; 12) = 6$ . На рисунке: наибольшая квадратная плитка, покрывающая пол $18 \times 12$ без остатка, — $6 \times 6$ . Алгоритм Евклида: делим большее на меньшее с остатком, затем делитель на остаток — пока не получим нулевой остаток; последний ненулевой остаток — НОД: $18 = 12 \cdot 1 + 6$ , $12 = 6 \cdot 2 + 0$ . Если НОД $= 1$ , числа взаимно простые ( $8$ и $15$ ). НОД сокращает дробь: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ .

НОК — наименьшее общее кратное

Кратные $12$ : $12, 24, 36, 48, \dots$ ; кратные $18$ : $18, 36, 54, \dots$ ; первое общее — $36$ , $НОК (12; 18) = 36$ : автобусы снова отправятся вместе через $36$ минут. В табличном способе: $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ ; для НОД берём меньшие степени общих множителей ( $2 \cdot 3 = 6$ ), для НОК — большие степени всех ( $2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ ). Отсюда $НОД \cdot НОК = a \cdot b$ . НОК — общий знаменатель дробей: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$ .

О модели

Решето на чертеже показано для чисел до $200$ , дерево — до $999$ ; сами способы работают для любого числа, просто у больших чисел больше шагов деления. Сторона плитки — в целых дециметрах; расписание автобусов считается идеальным (без опозданий). Основное содержание главы: делитель, кратное, простое и составное число, разложение на простые множители, НОД, НОК и их применение к дробям — всё показано на ступенях.

Знаете ли вы?

Эратосфен (около 276–194 годов до н. э.) руководил Александрийской библиотекой: он придумал способ «просеивания» простых чисел через решето и первым вычислил длину окружности Земли.
Простых чисел бесконечно много — это доказал Евклид в IX книге «Начал» (около 300 г. до н. э.). Самое большое известное простое число, найденное в октябре 2024 года, — $2^{136 279 841} - 1$ ; в нём более 41 миллиона цифр.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Дроби: от пиццы к формуле — 5 класс
Числовая прямая: от −7 до √2 — 7 класс
Степень: от сгибания к формуле — 7 класс
Корень: от квадрата до степени — 8 класс