Математика · Числа и вычисления · 8 класс

Корень: от квадрата до степени

Чему равна сторона квадратной комнаты площадью 50 м²? Клетками её не найти

Ситуация

Чему равна сторона квадратной комнаты площадью 50 м²? 7 × 7 = 49 — мало, 8 × 8 = 64 — много: сторона между 7 и 8, но клетками её не найти. А ребро кубического сосуда объёмом 1 литр? На эти вопросы отвечает корень: √50 мы найдём «вилкой», ∛1000 прочитаем по кубу, а затем перейдём к свойствам корней и записи в виде степени.

Тема

Квадратный и кубический корень, арифметический корень и его свойства, степень с рациональным показателем. Сторона квадратной комнаты площадью 50 м² и ребро кубического сосуда в 1 литр: корень, приближённое значение, запись корня в виде степени

Ключевые понятия

Квадратный и кубический корень
Арифметический корень
a^(m/n) = ⁿ√aᵐ

Формулы

\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b \geq 0, b^{2} = a (a \geq 0)

Арифметический квадратный корень: неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ . ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ , $\sqrt{a^{2}} = | a |$ .

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \geq 0, b > 0)

Корень из произведения и частного; отсюда вынесение множителя из-под корня: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt{2}$ .

\sqrt[3]{V} = a \Leftrightarrow a^{3} = V

Кубический корень: ребро куба объёмом $V$ . $\sqrt[3]{1000} = 10$ , $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ (при нечётной степени число может быть и отрицательным).

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} (a > 0)

Степень с рациональным показателем: $a^{1 / 2} = \sqrt{a}$ , $a^{1 / 3} = \sqrt[3]{a}$ ; свойства степеней ( $a^{p} a^{q} = a^{p + q}$ , ${(a^{p})}^{q} = a^{p q}$ ) сохраняются.

Теория

Квадратный корень — поиск «вилкой»

Сторона квадрата площадью $S$ равна $\sqrt{S}$ («квадратный корень из $S$ »): $\sqrt{49} = 7$ , так как $7^{2} = 49$ . Если $S = 50$ , сторона не целая: $7^{2} = 49 < 50 < 64 = 8^{2}$ , значит, $7 < \sqrt{50} < 8$ . Пробуем десятые: ${7,0}^{2} = 49$ , ${7,1}^{2} = 50,41$ — значит, $7,0 < \sqrt{50} < 7,1$ ; сотые: ${7,07}^{2} = 49,98$ , ${7,08}^{2} = 50,13$ . Так получаем $\sqrt{50} \approx 7,07$ — можно продолжать до нужной точности. $\sqrt{50}$ — не рациональное число: его десятичная запись бесконечна и непериодична.

Кубический корень

Ребро куба объёмом $V$ равно $\sqrt[3]{V}$ : $a^{3} = V$ . 1 литр $= 1000$ см³, значит, ребро кубического сосуда в один литр равно $\sqrt[3]{1000} = 10$ см. Если увеличить объём вдвое, ребро вырастет не вдвое, а в $\sqrt[3]{2} \approx 1,26$ раза: $\sqrt[3]{2000} \approx 12,6$ см. Кубический корень извлекается и из отрицательного числа: $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ , так как ${(- 2)}^{3} = - 8$ .

Арифметический корень

У уравнения $x^{2} = 4$ два решения: $2$ и $- 2$ . Их неотрицательное значение — арифметический квадратный корень: $\sqrt{4} = 2$ (а не $\pm 2$ !). Поэтому $\sqrt{a}$ — одно число, а график $y = \sqrt{x}$ — это правая ветвь параболы, отражённая относительно прямой $y = x$ . Из определения: ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ ; обратное требует осторожности: $\sqrt{a^{2}} = | a |$ , например $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = 4$ . Квадратного корня из отрицательного числа среди действительных чисел не существует.

Свойства и вынесение множителя

Площадь квадрата со стороной $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ равна ${(\sqrt{a})}^{2} {(\sqrt{b})}^{2} = a b$ , значит, его сторона равна и $\sqrt{a b}$ : $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ ( $a, b \geq 0$ ). Так же $\sqrt{a / b} = \sqrt{a} / \sqrt{b}$ ( $b > 0$ ). Отсюда вынесение множителя из-под корня: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \sqrt{2}$ — квадрат со стороной $5 \sqrt{2}$ состоит из $25$ клеток $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ площадью 2 каждая. Обратное действие — внесение: $5 \sqrt{2} = \sqrt{50}$ . Для суммы такого свойства нет: $\sqrt{9 + 16} = 5 \neq 3 + 4$ .

Степень с рациональным показателем

Что такое $a^{1 / 2}$ ? Если свойство степени должно сохраняться, то $a^{1 / 2} \cdot a^{1 / 2} = a^{1 / 2 + 1 / 2} = a$ — то есть $a^{1 / 2}$ — положительное число, квадрат которого равен $a$ : $a^{1 / 2} = \sqrt{a}$ . В общем случае $a^{m / n} = \sqrt[n]{a^{m}}$ ( $a > 0$ ): $8^{2 / 3} = \sqrt[3]{64} = 4$ , $2^{- 1 / 2} = 1 / \sqrt{2}$ . На графике эти точки лежат на гладкой кривой $y = a^{x}$ между целыми точками. При упрощении выражений работают правила степеней: ${(a^{1 / 2} a^{1 / 3})}^{6} = {(a^{5 / 6})}^{6} = a^{5}$ . В иррациональном уравнении ( $\sqrt{x + 3} = x - 3$ ) обе части возводятся в квадрат — это может добавить посторонний корень, поэтому ответ проверяют.

О модели

Нецелые корни показываются округлёнными до двух знаков после запятой («≈»); точное значение записывается так: $\sqrt{50}$ , $5 \sqrt{2}$ . Ползунки ограничены: площадь до 100, объём до 1000 см³; чертёж квадрата всегда одного размера — масштаб меняется в зависимости от чисел. Степень с рациональным показателем рассматривается только для положительного основания; для отрицательного ( ${(- 8)}^{1 / 3}$ ) определение не принято, поэтому оно не показывается.

Знаете ли вы?

Знак корня «√» появился в 1525 году в книге «Die Coss» немецкого математика Кристофа Рудольфа — считается, что он произошёл от буквы «r» латинского слова «radix» (корень); черту над подкоренным выражением ввёл в 1637 году Рене Декарт.
Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 (примерно 1800–1600 годы до н. э.) приводит шестидесятеричную запись $\sqrt{2}$ на диагонали квадрата: 1;24,51,10 — в десятичной это 1,41421296…, то есть верно до шести знаков после запятой.

Что внутри эксперимента

Тема объясняется анимацией по ступеням — от простого к сложному: от жизненной картинки к формуле и доказательству. Затем вы сами двигаете точки и проверяете. Внутри — задания, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Дроби: от пиццы к формуле — 5 класс
Простые числа, НОД и НОК — 7 класс
Числовая прямая: от −7 до √2 — 7 класс
Степень: от сгибания к формуле — 7 класс