Matematika · Sonlar va hisoblash · 7-sinf

Tub sonlar, EKUB va EKUK

Ikki avtobus 12 va 18 minutda jo‘naydi — qachon yana birga? Kafel qancha?

Vaziyat

Chilonzor bekatidan 12-avtobus har 12 minutda, 18-avtobus har 18 minutda jo‘naydi; soat 8:00 da ikkalasi birga ketdi. Ular yana qachon birga jo‘naydi? Oshxona poli 18 × 12 dm; uni eng katta bir xil kvadrat kafel bilan qoldiqsiz yopmoqchimiz — kafel qanday bo‘ladi? Ikkala savolga ham sonning bo‘luvchilari va karralilari javob beradi, ularning «g‘ishtlari» esa tub sonlar.

Mavzu

Tub sonlar, tub ko‘paytuvchilarga ajratish, EKUB va EKUK. Ikki avtobus bir bekatdan 12 va 18 minutda — qachon yana birga? Eratosfen g‘alviri, ko‘paytuvchilar daraxti, kafel bilan EKUB

Asosiy tushunchalar

Tub son
EKUB
EKUK

Formulalar

360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Har bir natural son ( $1$ dan tashqari) tub ko‘paytuvchilarga yagona usulda ajraladi; bir xil ko‘paytuvchilar daraja bilan yoziladi.

EKUB (18; 12) = 6, EKUK (12; 18) = 36

Eng katta umumiy bo‘luvchi — ikkala sonni ham bo‘ladigan eng katta son; eng kichik umumiy karrali — ikkalasiga ham bo‘linadigan eng kichik son.

12 = 2^{2} \cdot 3, 18 = 2 \cdot 3^{2} \Rightarrow EKUB = 2 \cdot 3, EKUK = 2^{2} \cdot 3^{2}

Jadval usuli: EKUB — umumiy tub ko‘paytuvchilarning eng kichik darajalari, EKUK — hamma ko‘paytuvchilarning eng katta darajalari.

EKUB (a; b) \cdot EKUK (a; b) = a \cdot b

Ikki son uchun EKUB va EKUK ko‘paytmasi sonlarning o‘ziga teng: $6 \cdot 36 = 12 \cdot 18$ .

Nazariya

Bo‘luvchilar va karralilar

$18 : 6 = 3$ qoldiqsiz — demak $6$ soni $18$ ning bo‘luvchisi, $18$ esa $6$ ning karralisi. $18$ ning bo‘luvchilari: $1, 2, 3, 6, 9, 18$ — ular chekli; karralilari $18, 36, 54, \dots$ — cheksiz. $1$ hamma sonning bo‘luvchisi, har bir son o‘zining ham bo‘luvchisi, ham karralisi. Bo‘linish belgilari ko‘paytuvchini tez topishga yordam beradi: oxiri juft — $2$ ga, raqamlar yig‘indisi $3$ ga bo‘linsa — $3$ ga, oxiri $0$ yoki $5$ — $5$ ga bo‘linadi.

Tub va murakkab sonlar

Faqat ikkita bo‘luvchisi ( $1$ va o‘zi) bo‘lgan son — tub son: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ ; ikkitadan ko‘p bo‘luvchisi bo‘lsa — murakkab son. $1$ — na tub, na murakkab (bitta bo‘luvchisi bor). Eratosfen g‘alviri: $2$ ni qoldirib karralilarini o‘chiramiz, keyin $3$ , $5$ , $7$ niki… $100$ gacha $7$ da to‘xtash yetarli, chunki $11^{2} = 121 > 100$ : o‘chirilmay qolgan har bir sonning kichik bo‘luvchisi bo‘lsa, u $\sqrt{100} = 10$ dan oshmas edi. $2$ — yagona juft tub son; tub sonlar cheksiz ko‘p.

Tub ko‘paytuvchilarga ajratish

Murakkab sonni ikki ko‘paytuvchiga bo‘lamiz, murakkablarini yana bo‘lamiz — ko‘paytuvchilar daraxti barglari tub sonlar: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ . Qanday boshlanishidan qat’i nazar ( $360 = 36 \cdot 10$ yoki $4 \cdot 90$ ) barglar to‘plami bir xil chiqadi — bu arifmetikaning asosiy teoremasi. Takrorlangan ko‘paytuvchilar daraja bilan ixcham yoziladi: $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ («Daraja» tajribasi). Ustun usuli ham shu: sonni eng kichik tub bo‘luvchisiga bo‘lib boramiz.

EKUB — eng katta umumiy bo‘luvchi

$18$ va $12$ ning umumiy bo‘luvchilari $1, 2, 3, 6$ ; eng kattasi $6$ — $EKUB (18; 12) = 6$ . Rasmda: $18 \times 12$ polni qoldiqsiz yopadigan eng katta kvadrat kafel $6 \times 6$ . Evklid algoritmi: kattasini kichigiga qoldiqli bo‘lamiz, keyin bo‘luvchini qoldiqqa — nol qoldiqqa yetguncha; oxirgi noldan farqli qoldiq EKUB: $18 = 12 \cdot 1 + 6$ , $12 = 6 \cdot 2 + 0$ . EKUB $= 1$ bo‘lsa, sonlar o‘zaro tub ( $8$ va $15$ ). EKUB kasrni qisqartiradi: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ .

EKUK — eng kichik umumiy karrali

$12$ ning karralilari $12, 24, 36, 48, \dots$ ; $18$ niki $18, 36, 54, \dots$ ; birinchi umumiysi $36$ — $EKUK (12; 18) = 36$ : avtobuslar $36$ minutdan keyin yana birga jo‘naydi. Jadval usulida: $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ ; EKUB uchun umumiy ko‘paytuvchilarning kichik darajalari ( $2 \cdot 3 = 6$ ), EKUK uchun hammasining katta darajalari ( $2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ ). Shundan $EKUB \cdot EKUK = a \cdot b$ . EKUK — kasrlarning umumiy maxraji: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$ .

Model haqida

G‘alvir chizmada $200$ gacha, daraxt $999$ gacha sonlar uchun ko‘rsatiladi — usullarning o‘zi istalgan songa ishlaydi, faqat katta sonlarda bo‘lish qadamlari ko‘payadi. Kafel tomoni butun detsimetrlarda; avtobuslar jadvali ideal deb olingan (kechikishsiz). Bobning asosiy ma’lumotlari: bo‘luvchi, karrali, tub va murakkab son, tub ko‘paytuvchilarga ajratish, EKUB, EKUK va ularning kasrlarda qo‘llanishi — hammasi pog‘onalarda ko‘rsatilgan.

Bilasizmi?

Eratosfen (miloddan avvalgi taxminan 276–194-yillar) Iskandariya kutubxonasiga rahbarlik qilgan: tub sonlarni «g‘alvirdan o‘tkazish» usulini o‘ylab topgan va Yer aylanasining uzunligini birinchi bo‘lib hisoblagan.
Tub sonlar cheksiz ko‘p — buni Evklid «Negizlar»ning IX kitobida (miloddan avvalgi taxminan 300-yil) isbotlagan. 2024-yil oktabrda topilgan eng katta ma’lum tub son $2^{136 279 841} - 1$ — unda 41 milliondan ortiq raqam bor.

Tajribada nima bor

Mavzu oddiydan murakkabgacha pog‘onama-pog‘ona animatsiyada tushuntiriladi: hayotiy rasmdan formulagacha va isbotgacha. Keyin nuqtalarni o‘zingiz surib tekshirasiz. Ichida topshiriqlar, test va ekskursiya bor.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Kasrlar: pitsadan formulagacha — 5-sinf
Sonlar o‘qi: −7 dan √2 gacha — 7-sinf
Daraja: buklashdan formulagacha — 7-sinf
Ildiz: kvadratdan darajagacha — 8-sinf