Робототехника · Основы электроники · 7 класс

Конденсатор: зарядка и время RC

Почему лампочка игрушки гаснет не сразу после выключения? Откуда берётся τ = RC?

Ситуация

У маленькой игрушечной машинки есть фара. Если выключить её, свет гаснет не сразу — одну-две секунды он медленно угасает. Если открыть корпус, рядом со светодиодом стоит маленькая синяя «бочка» — конденсатор. Как он накапливает заряд, почему отдаёт его медленно, что такое «время RC»? На макетной плате зарядите конденсатор через резистор, понаблюдайте по мультиметру и графику, сделайте светодиод «медленно гаснущим» — а потом нарочно подключите один наоборот и посмотрите, что будет.

Тема

Конденсатор: зарядка и время RC. Лампа ещё немного горит после выключения: заряд конденсатора и τ = RC

Ключевые понятия

Конденсатор
τ = RC
Энергия CU²/2

Формулы

q = C \cdot U

Заряд пропорционален ёмкости и напряжению: 1 Ф = 1 Кл / 1 В. Обычные конденсаторы измеряют в микрофарадах (1 мкФ = 10⁻⁶ Ф).

τ = R \cdot C

Постоянная времени: при заряде напряжение за время $τ$ достигает 63 % от напряжения источника, при разряде падает до 37 %; примерно за 5τ процесс практически заканчивается.

u_{C} (t) = U (1 - e^{- t / τ}), u_{C} (t) = U_{0} e^{- t / τ}

Кривые заряда (слева) и разряда (справа): ток сначала большой и уменьшается по мере наполнения конденсатора.

W = \frac{C U^{2}}{2}

Энергия: конденсатор хранит её в электрическом поле; 1000 мкФ, 9 В → 40 мДж.

C_{пар} = C_{1} + C_{2}, \frac{1}{C_{посл}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}

При параллельном соединении ёмкости складываются; при последовательном общая ёмкость уменьшается, а напряжение делится обратно пропорционально ёмкости: $U_{1} / U_{2} = C_{2} / C_{1}$ .

Теория

Что такое конденсатор

Две металлические пластины, а между ними тонкий диэлектрик (изолятор). При подключении к батарейке на одной пластине копится положительный заряд, на другой отрицательный: $q = C U$ . Ёмкость $C$ — сколько заряда помещается на один вольт; единица — фарад, на практике микрофарад (мкФ) и нанофарад (нФ). Два вида: электролитический — большая ёмкость (от 10 мкФ до тысяч мкФ), синяя или чёрная «бочка», полярный: белая полоса сбоку — минусовая ножка, на корпусе написаны ёмкость и предельное напряжение (6,3 В, 16 В, 25 В); керамический — маленький плоский диск, ёмкость небольшая (100 нФ — «104»), неполярный, включается любой стороной.

Заряд и τ = RC

Если подключить ключ к батарейке, ток течёт через резистор в конденсатор. Сначала конденсатор пуст — ток наибольший: $I_{0} = U / R$ . По мере наполнения конденсатора его напряжение растёт, на резистор остаётся меньше, ток уменьшается — поэтому кривая сначала крутая, потом пологая. Постоянная времени $τ = R C$ : 10 кОм · 100 мкФ = $10^{4} \cdot 10^{- 4}$ = 1 с. Через $τ$ напряжение достигает 63 %, через $3 τ$ — 95 %, через 5τ — 99 %: считаем, что конденсатор полон. Увеличите резистор в 10 раз — станет в 10 раз медленнее; то же с ёмкостью. Мультиметр (V⎓, 10 МОм) подключён параллельно конденсатору — почти не влияет на цепь.

Разряд и лампочка игрушки

Если перевести ключ в положение, где резистор соединён с землёй, конденсатор разряжается через этот резистор: за время $τ$ напряжение падает до 37 %. В игрушке вместо резистора светодиод с его резистором: после выключения светодиод получает ток не от батарейки, а от конденсатора — и медленно гаснет. Но у светодиода есть порог: когда напряжение падает до $U_{L E D}$ ≈ 1,9 В, ток прекращается, до конца он «не дожидается». Время угасания примерно $t \approx R C \cdot \ln \frac{U_{0} - U_{L E D}}{I_{\min} R}$ : 470 Ом, 1000 мкФ, 4,5 В — ≈ 1,1 с; ёмкость или резистор больше — дольше.

Энергия

Энергия в конденсаторе $W = C U^{2} / 2$ : 100 мкФ, 4,5 В — всего 1 мДж; 1000 мкФ, 9 В — 40 мДж. Этой энергии хватает, чтобы светодиод игрушки горел секунду-две. В фотовспышке конденсатор заряжается примерно до 300 В и мгновенно разряжается — несколько джоулей, поэтому он опасен. Если напряжение вырастет вдвое, энергия вырастет в четыре раза.

Полярность, предельное напряжение и последовательное соединение

Если подключить электролитический конденсатор наоборот (полоса на стороне плюса), электролит внутри нагревается, выделяется газ, крышка вздувается и лопается — за несколько секунд. То же при напряжении выше указанного на корпусе: 6,3 В конденсатор нельзя подключать к 9 В; правило — предел как минимум в 1,5 раза больше рабочего напряжения (9 В → 16 В). При последовательном соединении через оба конденсатора проходит одинаковый заряд, $U = q / C$ — напряжение больше падает на меньшей ёмкости: 100 мкФ + 470 мкФ, 9 В → 7,4 В и 1,6 В. Два конденсатора на 6,3 В, включённые последовательно, «выдержат» 9 В только при равных ёмкостях. При параллельном соединении ёмкости складываются, напряжение одно.

О модели

Цепь считается методом узловых потенциалов малыми шагами по времени (не более 1/40 τ). Конденсатор идеальный: ток утечки и внутреннее сопротивление не учитываются (в настоящем электролитическом протекает несколько мкА, заряд, простоявший часами, медленно пропадает). Вздутие — простая модель: при обратном включении ≈ 2,5 с, при превышении предела пропорционально превышению; реальные конденсаторы разные, но порядок такой. Лопнувший конденсатор считается оборванным (разомкнутым). Светодиод — кусочная модель (1,9 В, затем 2 Ом), «погас» — когда ток меньше 0,5 мА. Вольтметр 10 МОм.

Знаете ли вы?

Первый конденсатор — лейденская банка — в 1745–1746 годах независимо друг от друга создали два человека: Эвальд фон Клейст в Германии и Питер ван Мушенбрук в нидерландском городе Лейден; внутри и снаружи этот стеклянный сосуд был покрыт металлом.
Единица ёмкости фарад названа в честь Майкла Фарадея; 1 Ф — очень много: обычные электролитические конденсаторы измеряют в микрофарадах. А современные суперконденсаторы (ионисторы) имеют ёмкость в тысячи фарад: в трамваях и автобусах они накапливают энергию торможения и возвращают её при разгоне.

Что внутри эксперимента

Настоящая плата в рисованной изометрии: вы поворачиваете её, ставите детали, собираете цепь, пишете и загружаете код — ток и напряжение считаются сразу, а при ошибке деталь сгорает. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия.

Другие эксперименты раздела

Электрическая цепь: фонарик — 5–6 классы
Макетная плата: ряды — 5–6 классы
Светодиод и резистор: закон Ома — 7 класс
Резисторы: цветовая маркировка — 7 класс
Делитель напряжения и потенциометр — 7 класс
Диод и выпрямитель — 8 класс
Транзистор — ключ — 8 класс
Измерения мультиметром — 8 класс