Физика · Молекулярная физика и термодинамика · 4 курс

Фазовый переход и флуктуации

Почему нагретый магнит вдруг перестаёт притягивать и что дрожит в этой точке?

Ситуация

К чёрному керамическому (ферритовому) магниту на дверце холодильника мы подвешиваем цепочкой несколько канцелярских скрепок и нагреваем его на электроплитке. Примерно при 450 °C скрепки одна за другой падают — магнит теряет силу. А стеклянная ампула с углекислым газом вблизи критической точки белеет, как молоко. Почему порядок вдруг исчезает при определённой температуре и что именно «дрожит» в этой точке?

Тема

Фазовые переходы и флуктуации. Нагрев магнита: при точке Кюри намагниченность исчезает (модель Изинга)

Ключевые понятия

Модель Изинга (Метрополис)
Точка Кюри, теория Ландау
Флуктуации, рэлеевское рассеяние

Формулы

E = - J \sum_{⟨ i j ⟩} s_{i} s_{j} - h \sum_{i} s_{i}, s_{i} = \pm 1

Модель Изинга: если соседние спины направлены в одну сторону, энергия меньше ( $J > 0$ — ферромагнетик).

P = \min (1, e^{- Δ E / k T})

Алгоритм Метрополиса: компьютер переворачивает спин с вероятностью Больцмана.

k T_{C} = \frac{2 J}{\ln (1 + \sqrt{2})} \approx 2,269 J, m = {(1 - \sinh^{- 4} \frac{2 J}{k T})}^{1 / 8}

Точное решение Онсагера (1944): точка Кюри; формула спонтанной намагниченности (опубликована Онсагером, доказана Янгом в 1952 году).

F (m) = F_{0} + a (T - T_{C}) m^{2} + b m^{4} - h m

Теория Ландау: ряд по параметру порядка $m$ . При $T < T_{C}$ два минимума.

χ = \frac{N (⟨ m^{2} ⟩ - {⟨ m ⟩}^{2})}{k T}, C = \frac{⟨ E^{2} ⟩ - {⟨ E ⟩}^{2}}{k T^{2}}, \frac{σ}{⟨ X ⟩} \propto \frac{1}{\sqrt{N}}

Восприимчивость и теплоёмкость находят по флуктуациям; относительная флуктуация убывает как $1 / \sqrt{N}$ .

Теория

Ферромагнетизм и модель Изинга

В ферромагнетиках — железе, никеле — спины соседних атомов из-за обменного взаимодействия (квантовый эффект) стремятся к одному направлению: образуются макроскопические области — домены (в ферритах моменты двух подрешёток противоположны, но не равны — ферримагнетизм, суммарная намагниченность отлична от нуля). Тепловое движение этот порядок разрушает. Модель Изинга — простейшая картина: в узлах решётки только спины «вверх» или «вниз». Решётка на экране — «вид в лупу» маленькой области внутри магнита; мы считаем её методом Метрополиса (Монте-Карло). Ферриты (оксиды железа) — материал керамических магнитов и сердечников трансформаторов. Лаборатория гистерезиса и доменов — в эксперименте «Магнитные свойства вещества».

Определение точки Кюри (лаборатория)

Параметр порядка — намагниченность $m$ : при $T_{C}$ она падает до нуля. В точке Кюри восприимчивость $χ$ и теплоёмкость $C$ достигают максимума — по нему и находят $T_{C}$ . Меняя температуру шаг за шагом, записывайте в каждой точке $m$ и $χ$ (или включите автоматическое измерение). В конечной решётке пик немного выше $T_{C}$ : при L = 64 он находится при $\approx 2,30$ – $2,35 J / k$ . Шкала температуры подстроена под выбранный материал: $T = (T_{Изинга} / 2,269) \cdot T_{C}$ ; для феррита $T_{C} \approx 450$ °C, для железа 770 °C, для гадолиния ≈ 20 °C.

Фазовые переходы первого и второго рода

Классификация Эренфеста: при переходе первого рода первые производные свободной энергии (плотность, намагниченность, энтропия) скачут — скрытая теплота, гистерезис, метастабильные состояния (кипение, плавление). Если при $T < T_{C}$ провести поле $h$ от положительного значения к отрицательному, $m$ скачет и образуется петля. При переходе второго рода $m$ непрерывно падает до нуля, вторые производные — $C$ , $χ$ — скачут или стремятся к бесконечности (точка Кюри, критическая точка жидкость–пар). Вдоль линии перехода второго рода эти скачки связывают уравнения Эренфеста.

Теория Ландау

Ландау разложил $F$ в ряд по параметру порядка: $F = F_{0} + a (T - T_{C}) m^{2} + b m^{4} - h m$ . При $T > T_{C}$ один минимум ( $m = 0$ ), при $T < T_{C}$ — два симметричных минимума, система выбирает один из них (спонтанное нарушение симметрии; шарик на желобе показывает именно это). Теория даёт $m_{0} \propto {(T_{C} - T)}^{1 / 2}$ и скачок $C$ . В точном 2D-решении же $m \propto {(T_{C} - T)}^{1 / 8}$ : вблизи $T_{C}$ флуктуации так велики, что приближение среднего поля нарушается (критерий Гинзбурга) — сравните на графике.

Флуктуации: распределение Гаусса и 1/√N

Отклонение величины от среднего значения — флуктуация, её мера — дисперсия $σ^{2} = ⟨ x^{2} ⟩ - {⟨ x ⟩}^{2}$ . По термодинамической теории вероятность отклонения $\propto e^{Δ S / k}$ , что приводит к распределению Гаусса. Относительная флуктуация аддитивной величины, состоящей из N независимых частей, $\propto 1 / \sqrt{N}$ — в макроскопическом теле она незаметна. Флуктуации связаны с функциями отклика: $⟨ Δ E^{2} ⟩ = k T^{2} C$ , $⟨ Δ M^{2} ⟩ = k T χ$ — именно так вычисляются $C$ и $χ$ в эксперименте. В малых системах флуктуирует и совершаемая работа. Тепловые флуктуации (дрожание зеркальца гальванометра, шум на резисторе, флуктуации в фотонном газе) определяют предел чувствительности измерительных приборов.

Корреляции и критическая опалесценция

Парная корреляционная функция $G (r) = ⟨ s_{0} s_{r} ⟩ - {⟨ s ⟩}^{2}$ показывает, насколько «согласованно» колеблются соседние области: $G \propto e^{- r / ξ}$ , а корреляционная длина $ξ$ при $T_{C}$ стремится к бесконечности. Для многочастичных функций распределения в цепочке уравнений Боголюбова каждое уравнение зависит от следующего; на практике цепочку обрывают приближением. Если считать решётку решёточным газом (спин «вверх» = молекула), флуктуации плотности рассеивают свет: закон Рэлея $I \propto 1 / λ^{4}$ — небо голубое. В критической точке сжимаемость и флуктуации огромны — вещество белеет, как молоко (критическая опалесценция). Свет, рассеянный под углом 90°, поляризован.

Знаете ли вы?

Ларс Онсагер в 1944 году точно решил двумерную модель Изинга (без поля). Критическую температуру $k T_{C} = 2 J / \ln (1 + \sqrt{2})$ ещё раньше, в 1941 году, нашли Х. Крамерс и Дж. Ванье с помощью симметрии (дуальности). Модель названа по имени Эрнста Изинга: в 1925 году он показал, что в одномерной цепочке фазового перехода нет.
Критическую опалесценцию в 1908 году объяснил М. Смолуховский флуктуациями плотности, а в 1910 году А. Эйнштейн вывел формулу интенсивности рассеяния. Критическая точка углекислого газа — примерно 31 °C и 7,4 МПа.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Холодильник и тепловой насос — 10 класс
Реальные газы — 10 класс
Распределения Максвелла и Больцмана — 10 класс
Явления переноса — 1 курс
Квантовая статистика — 4 курс