Физика · Молекулярная физика и термодинамика · 4 курс

Квантовая статистика

Почему электроны в металле почти не вносят вклад в теплоёмкость?

Ситуация

Каждый атом меди отдаёт по одному свободному электрону. По классической физике эти электроны должны были бы добавить к теплоёмкости ещё $\frac{3}{2} R$ — но опыт этого не показывает. В 1995 году физики охладили атомы рубидия ниже 200 нК и «собрали» их в одном квантовом состоянии. А в небе звёзды размером с Землю — белые карлики — не сминаются под собственным весом. Секрет всех трёх явлений один: частицы — фермионы или бозоны. Как это работает?

Тема

Квантовая статистика: фермионы и бозоны. Электронный газ в металле и конденсат атомов, охлаждённых лазером

Ключевые понятия

Ферми–Дирак и Бозе–Эйнштейн
Энергия Ферми
Закон Дебая T³

Формулы

\overline{n} (ε) = \frac{1}{e^{(ε - μ) / k T} \pm 1}, {\overline{n}}_{M B} = e^{- (ε - μ) / k T}

Распределения Ферми–Дирака (+) и Бозе–Эйнштейна (−); при $e^{(ε - μ) / k T} ≫ 1$ оба переходят в распределение Максвелла–Больцмана.

E_{F} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(3 π^{2} n)}^{2 / 3}, C_{e} = \frac{π^{2}}{2} N k \frac{T}{T_{F}}

Вырожденный электронный газ: энергия Ферми и электронная теплоёмкость ( $T ≪ T_{F}$ ).

C_{V} = 9 N k {(\frac{T}{θ_{D}})}^{3} \int_{0}^{θ_{D} / T} \frac{x^{4} e^{x} d x}{{(e^{x} - 1)}^{2}} \overset{\overset{}{T ≪ θ_{D}}}{\to} \frac{12 π^{4}}{5} N k {(\frac{T}{θ_{D}})}^{3}

Теория Дебая; при высокой температуре закон Дюлонга–Пти $C = 3 R$ .

k T_{C} = ℏ \overline{ω} {(\frac{N}{ζ (3)})}^{1 / 3} \approx 0,94 ℏ \overline{ω} N^{1 / 3}, \frac{N_{0}}{N} = 1 - {(\frac{T}{T_{C}})}^{3}

Идеальный бозе-газ в гармонической ловушке: температура конденсации и доля конденсата. Для однородного газа $T_{C} = \frac{2 π ℏ^{2}}{m k} {(\frac{n}{2,612})}^{2 / 3}$ .

M_{C h} \approx \frac{5,83}{μ_{e}^{2}} M_{⊙} \approx 1,46 M_{⊙} (μ_{e} = 2), R \propto M^{- 1 / 3}

Белый карлик: наибольшая масса, которую может удержать давление вырождения (предел Чандрасекара); в нерелятивистской области более тяжёлый карлик меньше.

Теория

Фермионы и бозоны

Частицы с полуцелым спином — фермионы (электрон, протон): по принципу Паули в одном состоянии их не может быть больше одной, $\overline{n} \leq 1$ . Частицы с целым спином — бозоны (фотон, фонон, атом ⁸⁷Rb): они «любят» собираться в одном состоянии. Если частицы разрежены и горячи ( $n λ^{3} ≪ 1$ , $λ$ — длина волны де Бройля), различие исчезает — статистика Максвелла–Больцмана. Различаются и флуктуации: для бозонов $⟨ Δ n^{2} ⟩ = \overline{n} (1 + \overline{n})$ , для фермионов $\overline{n} (1 - \overline{n})$ — именно эти флуктуации в фотонном газе задают предел чувствительным приборам. В неравновесных газах, как в полупроводнике под излучением или в лазере, распределение отклоняется от этих формул.

Вырожденный электронный газ, сфера Ферми

При $T = 0$ электроны заполняют состояния от самых низких до $E_{F}$ : в $k$ -пространстве это сфера Ферми (точки на экране — разрешённые состояния). Для меди $E_{F}$ = 7,0 эВ, $T_{F} \approx 81 600$ К: при комнатной температуре $k T = 0,026$ эВ очень мало, газ сильно вырожден. Возбудиться может только слой толщиной $\sim k T$ у поверхности Ферми. Плотность состояний $g (ε) \propto \sqrt{ε}$ . В кристалле энергия разбивается на зоны: частично заполненная зона — металл, полностью заполненная зона и широкая запрещённая зона — диэлектрик, узкая запрещённая зона — полупроводник (подробнее — в эксперименте «Зоны в твёрдых телах»).

Электронная теплоёмкость и магнитные свойства

Классическая теория даёт $\frac{3}{2} R$ на моль электронов; на самом деле $C_{e} = γ T$ , $γ = π^{2} R / (2 T_{F})$ — для меди в модели свободных электронов 0,50 мДж/(моль·К²), в опыте 0,695 мДж/(моль·К²) (разница — из-за эффективной массы). Поскольку вклад решётки пропорционален $T^{3}$ , $γ T$ заметна лишь при нескольких кельвинах: если построить $C / T$ от $T^{2}$ , получится прямая, а отрезок, отсекаемый ею на оси $C / T$ , равен $γ$ . По той же причине спины могут переориентировать только электроны вблизи $E_{F}$ : парамагнетизм Паули мал и не зависит от температуры; орбитальное движение даёт диамагнетизм Ландау (доля $- \frac{1}{3}$ от парамагнетизма Паули).

Теплоёмкость твёрдого тела: Дюлонг–Пти, Эйнштейн, Дебай

Классическая теорема о равнораспределении: на каждую квадратичную степень свободы приходится $\frac{1}{2} k T$ (по теореме о вириале при колебаниях кинетическая и потенциальная энергии равны) — для $3 N$ осцилляторов $C = 3 R \approx 24,9$ Дж/(моль·К) (Дюлонг–Пти). При низкой температуре $C$ убывает — энергия квантуется. Эйнштейн (1907): все атомы колеблются с одной частотой — $C$ падает экспоненциально (очень быстро). Дебай (1912): колебания — это фононы, плотность состояний $\propto ω^{2}$ до $ω_{D}$ ; результат $C \propto T^{3}$ , $θ_{D}$ — температура Дебая. Фотонный газ ведёт себя так же: энергия $\propto T^{4}$ (формула Планка, эксперимент «Тепловое излучение и Планк»). В двухатомном газе вращательные и колебательные степени свободы так же «замерзают». Гармоническая решётка при нагревании не расширялась бы и проводила бы тепло бесконечно хорошо — из-за ангармонизма фононы рассеиваются, тело расширяется.

Бозе–Эйнштейновская конденсация

При $T < T_{C}$ макроскопическая часть бозонов переходит в самое низкое состояние. В гармонической ловушке $N_{0} / N = 1 - {(T / T_{C})}^{3}$ . В опыте ловушку выключают, облако несколько миллисекунд разлетается и расширяется, после чего снимается его тень: над широким тепловым облаком виден острый пик — конденсат. В узком направлении конденсат расширяется быстрее (принцип неопределённости), поэтому его форма «переворачивается». Модель — идеальный газ без взаимодействия, тепловое облако имеет гауссову форму; настоящий конденсат из-за взаимодействия шире.

Белые карлики и предел Чандрасекара

Белый карлик удерживается против гравитации не тепловым давлением, а давлением вырождения электронов (принцип Паули). В нерелятивистском газе $P \propto ρ^{5 / 3}$ , откуда $R \propto M^{- 1 / 3}$ — более тяжёлый карлик меньше! С ростом массы электроны становятся релятивистскими ( $x = p_{F} / m_{e} c > 1$ ), $P \propto ρ^{4 / 3}$ , и появляется наибольшая масса: $M_{C h} \approx 1,46 M_{⊙}$ ( $μ_{e} = 2$ , обычно говорят «1,4»). Более тяжёлый остаток превращается в нейтронную звезду или чёрную дыру. В эксперименте уравнение гидростатического равновесия решается численно с полным релятивистским уравнением состояния.

Знаете ли вы?

В 1995 году группа JILA (США), охладив пар атомов рубидия-87 примерно до 170 нК, получила первый атомный конденсат Бозе–Эйнштейна. В 2001 году Э. Корнелл, К. Вайман (JILA) и В. Кеттерле (MIT), получивший конденсат на атомах натрия, были удостоены за это открытие Нобелевской премии.
Сириус B — спутник звезды Сириус — по массе примерно равен Солнцу, а по размеру чуть меньше Земли. Чайная ложка его вещества на Земле весила бы около 10 тонн.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Тепловое расширение — 10 класс
Холодильник и тепловой насос — 10 класс
Реальные газы — 10 класс
Распределения Максвелла и Больцмана — 10 класс
Явления переноса — 1 курс
Фазовый переход и флуктуации — 4 курс