Физика · Молекулярная физика и термодинамика · 10 класс

Тепловое расширение

Почему между рельсами оставляют зазор, а озеро не промерзает до дна?

Ситуация

Летом в Узбекистане температура воздуха превышает +40 °C, а рельсы на солнце нагреваются примерно до +60 °C; зимой они остывают до −20 °C. Поэтому между 25-метровыми звеньями рельсов оставляют зазор в несколько миллиметров. Утюг сам отключается, жидкость в термометре поднимается, а зимой озеро замерзает только с поверхности — рыбы на дне остаются живы. Всё это связано с одним явлением — тепловым расширением. Почему тела при нагревании расширяются и почему вода не подчиняется этому правилу?

Тема

Тепловое расширение. Зазор между железнодорожными рельсами и аномалия воды при 4 °C

Ключевые понятия

Линейное и объёмное расширение
Биметаллический термостат
Аномалия воды

Формулы

Δ L = α L_{0} Δ T

Линейное расширение: $α$ — коэффициент линейного расширения, 1/К. Для стали $α \approx 1,2 \cdot 10^{- 5}$ 1/К.

Δ V = β V_{0} Δ T, β \approx 3 α

Объёмное расширение. Для твёрдого тела ${(1 + α Δ T)}^{3} \approx 1 + 3 α Δ T$ .

σ = E α Δ T

Термическое напряжение в стержне, которому не дают расшириться ( $E$ — модуль Юнга).

\frac{1}{R} \approx \frac{3}{2} \frac{(α_{1} - α_{2}) Δ T}{h}, d = \frac{L^{2}}{2 R}

Кривизна биметаллической пластины (при равных толщинах слоёв и модулях Юнга), $h$ — общая толщина, $d$ — смещение конца.

β = \frac{S Δ h}{V_{0} Δ T} + β_{s h}

Дилатометр: уровень в капилляре поднимается на $Δ h$ ; стеклянный сосуд тоже расширяется, поэтому прибавляется его $β_{ст} = 3 α_{ст}$ .

Теория

Почему тела расширяются?

В твёрдом теле атомы колеблются около положения равновесия. Потенциальная энергия взаимодействия атомов $U (r)$ несимметрична: сблизить атомы гораздо труднее, чем удалить их друг от друга. С ростом энергии колебаний атом всё дальше заходит на пологую сторону «ямы», и среднее расстояние $⟨ r ⟩$ растёт — это ангармонизм (посмотрите на график $U (r)$ в лаборатории). В гармоническом (параболическом) потенциале теплового расширения не было бы. Поэтому и $α$ зависит от температуры: при очень низкой температуре она, как и теплоёмкость, стремится к нулю (закон Грюнайзена), а выше комнатной температуры медленно растёт. Ангармонизм вызывает и рассеяние фононов друг на друге — поэтому теплопроводность кристаллов конечна.

Рельсы, мосты, трубы

Если расширению не дать произойти, в теле возникает большое термическое напряжение: $σ = E α Δ T$ . Для стали $E α \approx 2,5$ МПа/К: нагрев на 40 К даёт 100 МПа, а в рельсе Р65 — сжимающую силу более 800 кН. Поэтому в звеньевом пути оставляют зазор, на концах мостов ставят деформационные швы (гребенчатые стальные пластины), на трубопроводы горячей воды устанавливают U-образные компенсаторы, а электрические провода летом провисают сильнее. В бесстыковом (сварном) пути рельсы жёстко прикреплены к шпалам и сами выдерживают напряжение. При чрезмерном нагреве путь может выгнуться в сторону. Модель: предел выгиба принят равным примерно 125 МПа (≈ 50 К); в звеньевом пути отверстия под болты позволяют зазору раскрыться не более чем до 21 мм, после чего рельс натягивается.

Биметалл и термостат

Пластины из двух разных металлов (например, латуни и инвара) соединены по всей поверхности. При нагревании латунь удлиняется сильнее, и пластина изгибается в сторону металла, который расширяется меньше. В утюге конец пластины поднимается и размыкает контакт: при заданной температуре цепь разрывается, нагреватель отключается; остыв, контакт снова замыкается. Ручка поднимает или опускает упорный винт — так выбирают температуру размыкания. Пластина нагревается с небольшим запаздыванием относительно подошвы, поэтому температура колеблется около заданного значения «пилой». Такой термостат есть и в электрочайниках, и в обогревателях. Модель: подошва однородна, для пластины используется формула Тимошенко, время ускорено в 5 раз.

Объёмное расширение и термометр

Если ребро куба удлинится в $(1 + α Δ T)$ раз, объём возрастёт в ${(1 + α Δ T)}^{3} \approx 1 + 3 α Δ T$ раз: β ≈ 3α. Жидкости расширяются в 10–100 раз сильнее твёрдых тел: для спирта $β \approx 1,1 \cdot 10^{- 3}$ 1/К, для ртути $1,8 \cdot 10^{- 4}$ 1/К. На этом основан жидкостный термометр: жидкость в резервуаре расширяется и выходит в тонкий капилляр; чем тоньше капилляр, тем выше чувствительность. Вместе с жидкостью расширяется и стекло, поэтому уровень показывает только кажущееся расширение — $β - β_{ст}$ . Колба нагревается раньше жидкости: при резком нагревании уровень сначала может даже немного опуститься.

Лабораторные работы

Линейное расширение. Стержень длиной 500 мм нагревают в трубчатой печи, его конец через кварцевый стержень смещает индикатор с ценой деления 0,01 мм. Кварц почти не расширяется ( $α \approx 0,55 \cdot 10^{- 6}$ 1/К), но при точном измерении его нужно учитывать. Для каждого интервала вычислите $α = Δ (Δ L) / (L_{0} Δ T)$ : значение при 200–300 °C получится больше, чем при 20–100 °C. Объёмное расширение. Колба на 50 мл заполнена жидкостью, к ней присоединён капилляр с внутренним диаметром 2 мм ( $S = 3,14$ мм²). Меняйте температуру термостата, после установления уровня запишите $T$ и $h$ , затем вычислите $β = S Δ h / (V_{0} Δ T) + β_{ст}$ ; для лабораторного стекла $β_{ст} = 9,9 \cdot 10^{- 6}$ 1/К. $β$ воды сильно зависит от температуры: при 20 °C она равна $2,1 \cdot 10^{- 4}$ , при 50 °C — $4,6 \cdot 10^{- 4}$ 1/К.

Аномалия воды

При нагревании от 0 до 4 °C вода сжимается и при 3,98 °C наиболее плотная (999,97 кг/м³). Осенью поверхность озера остывает, потяжелевшая вода опускается — всё озеро перемешивается до 4 °C. После этого охлаждённая вода становится легче, остаётся на поверхности и замерзает при 0 °C. Лёд легче воды (917 кг/м³): он плавает на поверхности и служит «крышкой», отделяющей нижележащую воду от холодного воздуха и ветра — ветер уже не может перемешивать воду, тепло уходит только сквозь лёд, и по мере утолщения льда это замедляется. Сам лёд проводит тепло примерно в 4 раза лучше воды (≈ 2,2 и 0,6 Вт/(м·К)); снег на льду — настоящий теплоизолятор. У дна вода всю зиму остаётся при температуре около +4 °C — рыбы живут. Причина — водородные связи: во льду молекулы образуют открытую, рыхлую структуру. Модель: озеро глубиной 4 м из 40 слоёв, перемешивание ветром и конвекция; слой снега и тепло от дна не учитываются, 1 с = 1 сутки.

Знаете ли вы?

Сплав инвар (примерно 64 % железа и 36 % никеля) при обычных температурах расширяется примерно в 10 раз меньше стали. За его открытие Шарль Эдуар Гийом получил в 1920 году Нобелевскую премию по физике.
При замерзании воды её объём увеличивается примерно на 9 % — поэтому зимой трубы и стеклянные сосуды с водой внутри лопаются.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Энтропия и направление времени — 9 класс
Броуновское движение и диффузия — 9 класс
Поверхностное натяжение и капиллярность — 9 класс
Кристаллические и аморфные тела — 9 класс
Фазовые переходы — 10 класс
Холодильник и тепловой насос — 10 класс
Реальные газы — 10 класс
Распределения Максвелла и Больцмана — 10 класс
Явления переноса — 1 курс
Квантовая статистика — 4 курс