Физика · Молекулярная физика и термодинамика · 9 класс

Кристаллические и аморфные тела

Почему поваренная соль имеет форму кубика, а алмаз и графит из одного углерода так различаются?

Ситуация

Если посмотреть на мелкие крупинки поваренной соли через лупу, окажется, что почти все они — кубики. Алмаз — самое твёрдое природное вещество, а графит так мягок, что остаётся на бумаге от карандаша; хотя оба состоят только из углерода. Лёд плавится точно при 0 °C, а стекло и смола при нагревании размягчаются постепенно. Секрет — в расположении атомов: в кристаллах они образуют строго упорядоченную решётку. Как измерить этот невидимый глазу порядок?

Тема

Кристаллические и аморфные тела. Поваренная соль, алмаз и решётка графита; почему стекло не кристалл

Ключевые понятия

Кристаллическая решётка
Температура плавления
Закон Брэгга

Формулы

k = \frac{N_{y a c h} \cdot \frac{4}{3} π r^{3}}{V_{y a c h}}

Плотность упаковки: простой куб — 52 %, объёмноцентрированный — 68 %, гранецентрированный и гексагональная плотная упаковка — 74 %.

Q = λ m

Теплота плавления: во время плавления температура кристалла не меняется. Нафталин: $λ \approx 1,5 \cdot 10^{5}$ Дж/кг, $t_{п л} = 80$ °C.

2 d \sin θ = n λ

Условие Брэгга: рентгеновские лучи, отражённые от параллельных атомных плоскостей, усиливаются.

d_{h k l} = \frac{a}{\sqrt{h^{2} + k^{2} + l^{2}}}

Расстояние между плоскостями $(h k l)$ в кубической решётке; $h, k, l$ — индексы Миллера.

Γ = ν e^{- E / k T}

Частота перескоков вакансии: диффузия в твёрдом теле экспоненциально зависит от температуры.

Теория

Кристаллические и аморфные тела

В кристалле атомы расположены в порядке, повторяющемся на большие расстояния, — в решётке; в аморфном теле (стекло, смола, канифоль, многие полимеры) есть только ближний порядок, как в жидкости. Поэтому кристалл плавится при определённой температуре, его свойства зависят от направления (анизотропия), а аморфное тело размягчается постепенно и изотропно. Полимеры — молекулы с длинными цепями, часто частично кристаллические. Жидкие кристаллы текут, но их молекулы выстроены в одном направлении — на этом основаны жидкокристаллические (LCD) экраны.

Решётка, элементарная ячейка и решётки Браве

Решётка — повторяющиеся точки в пространстве; если в каждую точку поместить один или несколько атомов (базис), получится кристалл. Наименьший повторяющийся фрагмент — элементарная ячейка; положения атомов записывают в долях рёбер ячейки (кристаллографические координаты), например $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ . По симметрии существует 7 кристаллических систем и 14 решёток Браве (кубическая: простая, объёмноцентрированная и гранецентрированная; тетрагональная, ромбическая, гексагональная, тригональная, моноклинная, триклинная). У куба 3 оси симметрии четвёртого порядка, 4 — третьего и 6 — второго порядка, 9 плоскостей симметрии и центр симметрии. Разные решётки одного вещества — полиморфизм: алмаз и графит, переход железа от BCC к FCC при 912 °C.

Виды химической связи

Ионная связь (NaCl): ионы Na⁺ и Cl⁻ притягиваются электростатически, каждый ион окружён 6 ионами противоположного знака. Ковалентная связь (алмаз): каждый атом углерода связан с 4 соседями общими электронными парами — очень твёрдый. Металлическая связь (Cu, Fe, Mg): ионы плотно расположены в «газе» свободных электронов (координационное число 8–12) — пластичны и хорошо проводят тепло. Связь Ван-дер-Ваальса слабая: она удерживает слои графита, поэтому слои легко скользят. Водородная связь образует кристалл льда. Энергия связи — энергия, нужная для разделения кристалла на отдельные атомы: у алмаза около 7,4 эВ/атом, у меди 3,5 эВ, у поваренной соли 3,2 эВ; а связь Ван-дер-Ваальса между слоями графита — всего около 0,05 эВ на атом (в окне результата — для каждой решётки).

Плавление, затвердевание и кристаллизация

Когда кристалл достигает температуры плавления, подводимая теплота расходуется на разрушение решётки, а температура не меняется (горизонтальный участок на графике), $Q = λ m$ . При охлаждении при той же температуре начинается кристаллизация, и эта теплота выделяется обратно. У аморфного вещества такой точки нет: при нагревании вязкость постепенно уменьшается (в HUD — $\lg η$ ), и оно размягчается и начинает течь. Некоторые кристаллы без плавления сразу превращаются в пар — это сублимация: нафталин, иод, сухой лёд (отсюда запах нафталина). Модель: в водяной бане 20 г нафталина и 20 г смолы типа канифоли; $c$ и вязкость смолы приблизительные. Плавление льда и воды — в эксперименте «Плавление, кипение и испарение».

Дефекты, дислокации и диффузия

Реальный кристалл не идеален. Точечные дефекты: вакансия (пустой узел), междоузельный атом, примесный атом. Доля вакансий $\sim e^{- E_{f} / k T}$ (у меди $E_{f} \approx 1,3$ эВ), а их перескоки перемещают атомы — так происходит диффузия в твёрдых телах; при комнатной температуре она почти прекращается. Дислокация — край лишней полуплоскости внутри кристалла; когда она смещается, части кристалла сдвигаются на один атомный шаг. Чтобы сдвинуть целую плоскость сразу, понадобилось бы $τ \approx G / 2 π$ (у меди ≈ 7,6 ГПа), а дислокация движется при мегапаскалях — отсюда пластичность металлов. Монокристалл — одна решётка во всём объёме; поликристалл состоит из зёрен разных направлений и в среднем изотропен. Например, модуль Юнга монокристалла меди вдоль [100] ≈ 67 ГПа, вдоль [111] ≈ 191 ГПа.

Рентгеновская дифракция и обратная решётка

Длина волны рентгеновских лучей (≈ 0,1 нм) близка к расстояниям между атомами, поэтому для них кристалл служит дифракционной решёткой. Лучи, отражённые от семейства параллельных плоскостей $(h k l)$ , усиливаются при $2 d \sin θ = n λ$ . Индексы Миллера — величины, обратные длинам отрезков, отсекаемых плоскостью на осях, приведённые к целым числам. Тип решётки определяет, какие пики есть: в FCC $h, k, l$ все чётные или все нечётные, в BCC сумма $h + k + l$ чётная. Векторы обратной решётки $| 𝐆 | = 2 π / d_{h k l}$ ; условие Брэгга равносильно $𝐤^{'} - 𝐤 = 𝐆$ . Ячейка Вигнера–Зейтца обратной решётки — зона Бриллюэна — объясняет энергетические зоны электронов. На поверхности атомы остаются без соседей: поверхностная энергия разных граней различна, поэтому кристалл растёт с плоскими гранями (соль — кубик). Если кристалл уменьшить до нескольких нанометров по одному, двум или трём направлениям, получится наноструктура: тонкий слой — квантовая яма (2D), тонкая проволока — квантовая нить (1D), маленькая крупинка — квантовая точка (0D); в них энергия электрона квантуется (подробнее — в эксперименте «Квантовые точки и потенциальная яма»).

Знаете ли вы?

Слой графита толщиной в один атом — графен — был выделен в 2004 году; за эту работу Андрей Гейм и Константин Новосёлов получили в 2010 году Нобелевскую премию по физике.
Дифракцию рентгеновских лучей в кристалле открыл в 1912 году Макс фон Лауэ; Уильям Генри Брэгг и его сын Уильям Лоренс Брэгг на основе этого явления создали метод определения строения кристаллов и в 1915 году получили Нобелевскую премию.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Влажность воздуха и роса — 9 класс
Тепловой двигатель: цикл Отто — 9 класс
Энтропия и направление времени — 9 класс
Броуновское движение и диффузия — 9 класс
Поверхностное натяжение и капиллярность — 9 класс
Фазовые переходы — 10 класс
Тепловое расширение — 10 класс
Холодильник и тепловой насос — 10 класс
Реальные газы — 10 класс
Распределения Максвелла и Больцмана — 10 класс