Физика · Молекулярная физика и термодинамика · 9 класс

Броуновское движение и диффузия

Почему частица под микроскопом непрерывно дрожит и как по этому узнали размер атома?

Ситуация

Капля туши, упавшая в воду, расплывается неторопливо, но непрерывно; запах духов, открытых в одном углу комнаты, через некоторое время чувствуется в другом. В 1827 году ботаник Роберт Броун увидел в микроскоп, как мелкие частицы цветочной пыльцы в воде беспрерывно и беспорядочно «танцуют». Эти частицы со всех сторон толкают невидимые глазу молекулы воды. Существуют ли молекулы на самом деле и насколько они малы? Как, измерив беспорядочный путь частицы, найти число Авогадро — число молекул в 1 моле?

Тема

Броуновское движение и диффузия. Частицы под микроскопом, капля туши в воде и масляная плёнка

Ключевые понятия

Броуновское движение
Диффузия
Число Авогадро

Формулы

⟨ r^{2} ⟩ = 4 D t

Средний квадрат смещения броуновской частицы пропорционален времени (на плоскости; по каждой оси $⟨ x^{2} ⟩ = 2 D t$ ).

D = \frac{k T}{6 π η a} = \frac{R T}{6 π η a N_{A}}

Формула Эйнштейна–Стокса: $a$ — радиус частицы, $η$ — вязкость воды.

J = - D \frac{d c}{d x}

Закон Фика: вещество течёт в сторону убывания концентрации.

d = \frac{V}{S}

Масляная плёнка имеет толщину в одну молекулу: объём масла в капле / площадь плёнки.

U (r) = 4 ε [{(\frac{σ}{r})}^{12} - {(\frac{σ}{r})}^{6}], ν = \frac{N}{N_{A}} = \frac{m}{M}

Энергия взаимодействия молекул (Леннард-Джонс) и количество вещества.

Теория

Молекулярно-кинетическая теория

Три положения МКТ: 1) вещество состоит из частиц — атомов и молекул; 2) они беспрерывно и беспорядочно движутся; 3) они притягиваются и отталкиваются. Опытные обоснования: броуновское движение, диффузия, давление газа, изменение объёма при смешивании веществ. Идея об атомах высказывалась ещё в Древней Греции, но их существование доказали в начале XX века теория Эйнштейна и измерения Перрена. В классической модели молекула — маленький твёрдый шар; в квантовой физике же энергия молекулы квантована (электронные, колебательные и вращательные уровни видны в спектрах), а химическая связь и валентность тоже имеют квантовую природу.

Броуновское движение и опыт Перрена

Молекулы вокруг частицы толкают её примерно $10^{20}$ раз в секунду; удары никогда не уравновешиваются полностью — частица совершает случайное блуждание. Это вы видите в увеличенном кубе (он не в масштабе: на самом деле молекула в тысячу раз меньше частицы). Смещение пропорционально не времени, а $\sqrt{t}$ : $⟨ r^{2} ⟩ = 4 D t$ — на графике прямая линия, а величины $Δ x$ подчиняются распределению Гаусса. Эйнштейн (1905) связал $D$ с $N_{A}$ ; Перрен (1908), отмечая положения частиц через равные промежутки времени, нашёл $N_{A}$ — вы поступите точно так же. Сама частица тоже имеет среднюю кинетическую энергию $\frac{3}{2} k T$ (равнораспределение энергии по степеням свободы). Плотность вероятности подчиняется уравнению $\partial P / \partial t = D \nabla^{2} P$ ; при внешней силе — уравнение Смолуховского (Фоккера–Планка), его равновесное решение — распределение Больцмана (детальное равновесие), а подвижность равна $μ = D / k T$ .

Диффузия и закон Фика

Диффузия — самопроизвольное перемешивание веществ благодаря тепловому движению. Первый закон Фика $J = - D d c / d x$ : поток пропорционален градиенту концентрации. Если источник и сток постоянны — стационарная диффузия (профиль линейный). Когда расплывается одна капля — нестационарная: $\partial c / \partial t = D \partial^{2} c / \partial x^{2}$ , пятно расширяется по Гауссу, $σ^{2} = σ_{0}^{2} + 2 D t$ . В геле конвекции нет — остаётся только диффузия, и она очень медленная: на 1 см уходит несколько часов (время ускорено в 1800 раз). В тепле быстрее: $D \propto T / η$ . Проникновение двух веществ друг в друга — взаимная диффузия; возникновение разности концентраций из-за разности температур — термодиффузия. В плазме электроны и ионы, связанные электрическим полем, диффундируют вместе (амбиполярная диффузия). В твёрдых телах атомы перескакивают через вакансии: $D$ очень мало и резко растёт с температурой — в эксперименте «Кристаллические и аморфные тела».

Размер молекулы: масляная плёнка

Молекула олеиновой кислоты «головой» прилипает к воде, а «хвост» направлен вверх: на поверхности воды образуется плёнка толщиной в одну молекулу. Используют сильно разбавленный раствор в спирте: спирт растворяется в воде, масло растекается и отодвигает порошок к краям. Объём масла $V = c \cdot n \cdot V_{капли}$ , площадь плёнки $S = π D^{2} / 4$ ( $D$ — среднее из двух измеренных диаметров), толщина $d = V / S \approx 10^{- 9}$ м. Отсюда объём молекулы ≈ $d^{3}$ , масса $m_{0} = M / N_{A}$ . Для молекулы воды $m_{0} = 0,018 / 6,02 \cdot 10^{23} \approx 3 \cdot 10^{- 26}$ кг, а размер ≈ 0,3 нм.

Количество вещества и закон Авогадро

Количество вещества $ν = N / N_{A} = m / M$ , в молях. Постоянная Авогадро $N_{A} = 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹. Относительная молекулярная масса $M_{r}$ — отношение массы молекулы к 1/12 массы атома углерода-12; молярная масса $M = M_{r} \cdot 10^{- 3}$ кг/моль (вода: $M_{r} = 18$ ). Закон Авогадро: при одинаковых давлении и температуре в равных объёмах газов содержится одинаковое число молекул; при нормальных условиях 1 моль газа занимает ≈ 22,4 л. Основное уравнение МКТ идеального газа $p = \frac{2}{3} n ⟨ E_{k} ⟩$ и приходящаяся на каждую степень свободы энергия $\frac{1}{2} k T$ — в эксперименте «Газ под поршнем».

Взаимодействие и три состояния вещества

На малых расстояниях электронные оболочки молекул отталкиваются, а на больших преобладает ван-дер-ваальсово притяжение. В потенциале Леннард-Джонса наименьшая энергия $- ε$ достигается на расстоянии $r_{0} = 2^{1 / 6} σ$ . Состояние зависит от отношения тепловой энергии $k T$ к глубине ямы $ε$ : $k T ≪ ε$ — атомы колеблются на месте (твёрдое тело, кристаллическая решётка); $k T \sim ε$ — ближний порядок сохраняется, но атомы меняются местами (жидкость: сохраняет объём, но не форму); $k T ≫ ε$ — атомы свободно летают (газ). Модель: 156 атомов аргона на плоскости, слабая сила тяжести и термостат. Температуры переходов в 2D-модели отличаются от настоящих для аргона (плавление 84 К, кипение 87 К).

Знаете ли вы?

Жан Перрен, измерив броуновское движение, подтвердил теорию Эйнштейна и определил число Авогадро; за эти работы в 1926 году он получил Нобелевскую премию по физике.
Бенджамин Франклин в 1770-х годах наблюдал, что одна чайная ложка масла растекается по поверхности озера примерно на пол-акра (≈ 2000 м²). Отсюда следует, что толщина плёнки всего 1–2 нм.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Тандыр и сандал: теплота — 7 класс
Газ под поршнем — 9 класс
Влажность воздуха и роса — 9 класс
Тепловой двигатель: цикл Отто — 9 класс
Энтропия и направление времени — 9 класс
Поверхностное натяжение и капиллярность — 9 класс
Кристаллические и аморфные тела — 9 класс
Фазовые переходы — 10 класс
Тепловое расширение — 10 класс
Холодильник и тепловой насос — 10 класс