Физика · Молекулярная физика и термодинамика · 9 класс

Газ под поршнем

Почему зимой давление в шинах падает, а насос нагревается?

Ситуация

Холодным зимним утром давление в шинах автомобиля падает, а летом растёт. Когда накачиваешь велосипед, насос нагревается, а в дизельном двигателе воздух сжимается так сильно, что топливо самовоспламеняется без искры. Причина у всего одна: газ — это миллиарды молекул, постоянно ударяющихся о стенки. Понаблюдайте, замедлив в 2000 раз, за молекулами азота под поршнем.

Тема

Идеальный газ и молекулярно-кинетическая теория. Велосипедный насос, шина и дизельный двигатель

Ключевые понятия

Уравнение состояния идеального газа
Молекулярно-кинетическая теория
Адиабатный процесс

Формулы

p V = ν R T, k = \frac{R}{N_{A}}

Уравнение состояния идеального газа (Менделеева–Клапейрона). $ν$ — количество вещества, моль; $k$ — постоянная Больцмана.

p = \frac{2}{3} n_{0} ⟨ E_{k} ⟩, ⟨ E_{k} ⟩ = \frac{3}{2} k T

Основное уравнение МКТ: давление определяется концентрацией молекул и их средней кинетической энергией; температура — мера этой энергии.

Q = Δ U + A^{'}, Δ U = \frac{i}{2} ν R Δ T, A^{'} = \int p d V

Первый закон термодинамики: теплота, переданная газу, увеличивает внутреннюю энергию, и газ совершает работу ( $i$ — число степеней свободы).

C_{p} - C_{V} = R, p V^{γ} = const, γ = \frac{C_{p}}{C_{V}} = \frac{i + 2}{i}

Уравнение Майера и адиабата (уравнение Пуассона). He: $γ = 5 / 3$ , N₂: $7 / 5$ , CH₄: $4 / 3$ .

f (v) = 4 π {(\frac{m_{0}}{2 π k T})}^{3 / 2} v^{2} e^{- m_{0} v^{2} / 2 k T}

Распределение Максвелла: распределение молекул по скоростям.

Теория

Давление — сумма ударов

Каждая молекула, ударяясь о стенку и отскакивая, передаёт ей импульс $2 m_{0} v_{n}$ . Среднее от триллионов ударов в секунду и есть измеряемое нами давление. Расчёт даёт основное уравнение МКТ: $p = \frac{1}{3} n_{0} m_{0} ⟨ v^{2} ⟩ = \frac{2}{3} n_{0} ⟨ E_{k} ⟩$ (тот же результат даёт и теорема о вириале: $p V = \frac{2}{3} E_{пост}$ ). Симуляция измеряет давление именно так — подсчитывая импульс, переданный стенкам и поршню, — и сравнивает его с $p V = ν R T$ . В смеси газов каждый газ создаёт свои удары, давления складываются: $p = p_{1} + p_{2} + \dots$ (закон Дальтона). На сцене всего 400 «представительных» молекул, поэтому стрелка манометра дрожит: относительная флуктуация $\sim 1 / \sqrt{N}$ (подробнее — в эксперименте «Фазовый переход и флуктуации»); при реальных $10^{22}$ молекул она незаметна.

Температура, постоянная Больцмана и скорости

Когда газ приходит в тепловое равновесие со стенками, температуры выравниваются — на этом основан термометр. Температура — мера средней энергии поступательного движения молекул: $⟨ E_{k} ⟩ = \frac{3}{2} k T$ . Постоянная Больцмана $k = R / N_{A} = 1,38 \cdot 10^{- 23}$ Дж/К связывает энергию одной молекулы с кельвинами, универсальная газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(моль·К) — ту же связь для 1 моля. Абсолютная шкала: $T = t + 273,15$ . Изобары и изохоры экстраполируются к $t = - 273,15$ °C (смотрите в журнале) — реальные газы сжижаются раньше. Скорости не одинаковы — распределение Максвелла: наиболее вероятная $v_{в} = \sqrt{2 k T / m_{0}}$ , средняя $⟨ v ⟩ = \sqrt{8 k T / π m_{0}}$ , средняя квадратичная $v_{кв} = \sqrt{3 k T / m_{0}}$ ; для азота при 300 К ≈ 422, 476 и 517 м/с (на панели — значения, измеренные по молекулам). Измерение скоростей на опыте (опыт Штерна) — в эксперименте «Распределения Максвелла и Больцмана».

Четыре процесса и газовые законы

Изотермический ( $T$ = const): стенки поддерживают температуру, $p V$ = const (закон Бойля–Мариотта). Изобарный ( $p$ = const): груз на поршне поддерживает давление, нагретый газ расширяется, $V / T$ = const (закон Гей-Люссака), $V = V_{0} (1 + α t)$ , $α = 1 / 273,15$ К⁻¹. Изохорный ( $V$ = const): поршень закреплён, $p / T$ = const (закон Шарля), $p = p_{0} (1 + β t)$ ; термический коэффициент давления $β$ тоже равен $1 / 273,15$ К⁻¹ — поэтому зимой шина «садится». Адиабатный ( $Q = 0$ ): при сжатии газ нагревается, при расширении остывает. Все они — частные случаи политропного процесса: $p V^{n}$ = const, соответственно $n = 1; 0; \infty; γ$ . В технике: в дизеле адиабатное сжатие воспламеняет топливо, пневматические тормоза и молотки работают на сжатом воздухе, нагревать газовый баллон опасно — при изохорном процессе давление растёт пропорционально температуре.

Внутренняя энергия, работа и теплота

Внутренняя энергия идеального газа — сумма кинетических энергий молекул: $U = \frac{i}{2} ν R T$ . Изменить её можно двумя способами: совершая работу (движущийся поршень ускоряет или замедляет ударившуюся молекулу) и передавая теплоту (горячая стенка отбрасывает молекулу быстрее). Первый закон: $Q = Δ U + A^{'}$ ; работа газа $A^{'} = \int p d V$ — площадь под кривой на диаграмме p–V, в изотермическом процессе $A^{'} = ν R T \ln (V_{2} / V_{1})$ . В изопроцессах: изотермический — $Δ U = 0$ , $Q = A^{'}$ ; изохорный — $A^{'} = 0$ , $Q = Δ U$ ; изобарный — $Q = Δ U + p Δ V$ ; адиабатный — $Q = 0$ , $A^{'} = - Δ U$ . Раздел панели «I закон» считает $Q$ , $A^{'}$ и $Δ U$ по энергии каждой молекулы. Единицы работы и теплоты связал опыт Джоуля: механический эквивалент теплоты 1 кал ≈ 4,19 Дж (в эксперименте «Калориметр: тепловой баланс»).

Теплоёмкость, уравнение Майера и γ

Если нагревать газ при $V$ = const, вся теплота идёт на $U$ : молярная теплоёмкость $C_{V} = \frac{i}{2} R$ . При $p$ = const газ расширяется и совершает ещё и работу, поэтому $C_{p} = C_{V} + R$ (уравнение Майера), $γ = C_{p} / C_{V}$ . На каждую степень свободы в среднем приходится энергия $\frac{1}{2} k T$ (теорема о равнораспределении): у одноатомного He $i = 3$ , у двухатомного N₂ $i = 5$ (3 поступательных + 2 вращательных), у многоатомного CH₄ $i = 6$ — смотрите на панели долю энергии поступательного движения $3 / i$ . Колебания атомов при комнатной температуре почти «заморожены»: это объясняет квантовая теория («Квантовая статистика»); в реальном метане колебания немного добавляются, и $γ \approx 1,3$ . При адиабатном процессе $p V^{γ}$ и $T V^{γ - 1}$ постоянны (уравнение Пуассона); при политропном $C_{n} = C_{V} (n - γ) / (n - 1)$ . Измерение $γ$ : метод Клемана–Дезорма (на панели) — газ адиабатно расширяется ( $p_{1} \to p_{0}$ ), затем при постоянном объёме нагревается до температуры стенки ( $p_{0} \to p_{2}$ ): $γ = \ln (p_{1} / p_{0}) / \ln (p_{1} / p_{2})$ . В методе Рюхардта шарик в горлышке сосуда колеблется на «пружине» из газа: $ω^{2} = γ p S^{2} / (m V)$ .

Законы термодинамики и уравнения состояния

Нулевое начало: два тела, порознь находящиеся в равновесии с третьим, находятся в равновесии и друг с другом — на этом строится определение температуры. Первое начало — сохранение энергии. Второе и третье начала (энтропия, теорема Нернста) — в эксперименте «Энтропия и направление времени». Газ описывается двумя уравнениями: термическим $p = p (V, T)$ , где $p V = ν R T$ , и калорическим $U = U (V, T)$ , где $U = \frac{i}{2} ν R T$ . Они связаны: из соотношения Максвелла ${(\partial S / \partial V)}_{T} = {(\partial p / \partial T)}_{V}$ следует ${(\partial U / \partial V)}_{T} = T {(\partial p / \partial T)}_{V} - p$ , для идеального газа это ноль — $U$ не зависит от объёма (закон Джоуля). Проверьте: в адиабатном режиме кнопка «Расширение в пустоту» мгновенно выдёргивает поршень — газ не совершает работу, не получает теплоту, и его температура не меняется, а при медленном адиабатном расширении он остывает. В общем случае $C_{p} - C_{V} = T V α^{2} / ϰ_{T}$ ( $α$ — объёмное расширение, $ϰ_{T}$ — изотермическая сжимаемость); для идеального газа это $ν R$ . $U$ , $V$ , $C$ пропорциональны числу частиц (экстенсивные), а $p$ и $T$ — нет (интенсивные). Охлаждение реального газа при дросселировании (процесс Джоуля–Томсона) — в эксперименте «Реальные газы».

Знаете ли вы?

В дизельном двигателе воздух сжимается в 15–20 раз и нагревается выше 500 °C — топливо при впрыске самовоспламеняется, свеча зажигания не нужна.
При комнатной температуре молекулы воздуха движутся со средней скоростью ≈ 500 м/с — быстрее звука, но каждая миллиарды раз в секунду сталкивается с другими молекулами и меняет направление.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Плавление, кипение и испарение — 7 класс
Калориметр: тепловой баланс — 7 класс
Тандыр и сандал: теплота — 7 класс
Влажность воздуха и роса — 9 класс
Тепловой двигатель: цикл Отто — 9 класс
Энтропия и направление времени — 9 класс
Броуновское движение и диффузия — 9 класс
Поверхностное натяжение и капиллярность — 9 класс
Кристаллические и аморфные тела — 9 класс
Фазовые переходы — 10 класс