Физика · Молекулярная физика и термодинамика · 1 курс

Явления переноса

Почему запах духов медленно распространяется по комнате и как термос сохраняет чай горячим?

Ситуация

Вы открыли флакон духов в углу комнаты. Его молекулы летят со скоростью сотни метров в секунду — но запах доходит до другого конца комнаты не мгновенно, а гораздо позже. А налитый утром в термос чай остаётся горячим до вечера: между стенками термоса почти нет воздуха. А изюм, опущенный в воду, за несколько часов разбухает. Какой путь пролетают молекулы без столкновений и как это определяет запах, теплоту, трение и перенос воды?

Тема

Явления переноса, длина свободного пробега. Вакуум в термосе и распространение запаха духов в комнате

Ключевые понятия

Длина свободного пробега
Диффузия и закон Фика
Вакуум, сосуд Дьюара

Формулы

λ = \frac{k T}{\sqrt{2} π d^{2} p}, ν = \frac{⟨ v ⟩}{λ}, ⟨ v ⟩ = \sqrt{\frac{8 k T}{π m}}

Средняя длина свободного пробега ( $π d^{2}$ — эффективное сечение столкновений) и частота столкновений.

J = - D \frac{d n}{d x}, \frac{\partial n}{\partial t} = D \nabla^{2} n, ⟨ r^{2} ⟩ = 6 D t

Законы Фика; расширение облака частиц пропорционально корню из времени.

D \approx \frac{1}{3} ⟨ v ⟩ λ, η \approx \frac{1}{3} ρ ⟨ v ⟩ λ, ϰ \approx \frac{1}{3} ρ ⟨ v ⟩ λ c_{V}

Коэффициенты переноса: $ρ \propto p$ , $λ \propto 1 / p$ — вязкость и теплопроводность не зависят от давления.

Kn = \frac{λ}{L}, q_{мол} \propto p ⟨ v ⟩ Δ T (Kn ≫ 1)

Число Кнудсена: если $λ$ больше размера сосуда, газ разрежен и тепловой поток пропорционален давлению.

π = c R T, h = \frac{π}{ρ g}, \ln \frac{p_{r}}{p_{\infty}} = \frac{2 σ V_{m}}{r R T}

Осмотическое давление по Вант-Гоффу и высота столба; формула Кельвина — давление насыщенного пара над искривлённой поверхностью.

Теория

Свободный пробег и столкновения

Если диаметр молекулы $d$ , она сталкивается с каждым соседом, попавшим в круг радиусом $d$ : эффективное сечение столкновений $π d^{2}$ . В воздухе при нормальных условиях $λ \approx 68$ нм, молекула сталкивается примерно $7 \cdot 10^{9}$ раз в секунду. Время релаксации $τ \sim 1 / ν$ : после нескольких столкновений скорости приходят к распределению Максвелла. В «Лупе» диски стартуют с одинаковой скоростью — наблюдайте, как быстро распределение принимает форму Максвелла, и измеренное $λ$ (в 2D $λ = 1 / (2 \sqrt{2} n d)$ ).

Диффузия, закон Фика и конвекция

Если есть разность концентраций, случайное движение переносит вещество оттуда, где его больше, туда, где меньше, — закон Фика. Радиус облака растёт как $\sqrt{6 D t}$ : в воздухе $D \sim 10^{- 5}$ м²/с, то есть чтобы добраться на 1 м одной диффузией, нужны часы. Запах быстро приносит конвекция: воздушные потоки в комнате (примерно 0,1 м/с). У постоянного источника — стационарная диффузия ( $n$ не зависит от времени), вокруг открытого флакона — нестационарная. В смеси два газа взаимно диффундируют; разность температур тоже создаёт разность концентраций (термодиффузия). Плотность вероятности частиц меняется за счёт дрейфа и диффузии по уравнению Фоккера–Планка — эксперимент моделирует это именно случайными шагами.

Внутреннее трение, теплопроводность, кинетическое уравнение

Молекулы переносят между слоями импульс (вязкость $η$ ), энергию ( $ϰ$ ) и массу ( $D$ ); все три коэффициента связаны через $\frac{1}{3} ⟨ v ⟩ λ$ : $η = ρ D$ , $ϰ = η c_{V}$ . Неожиданный вывод Максвелла: вязкость газа не зависит от давления (чем меньше плотность, тем больше $λ$ ) — проверьте в режиме «Вакуум». Точная теория (Чепмена–Энскога) уточняет числовые коэффициенты: для воздуха $η \approx 1,8 \cdot 10^{- 5}$ Па·с. Эти коэффициенты входят в уравнения гидродинамики и теплопроводности. Их получают из кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации: интеграл столкновений $I [f] \approx - (f - f_{0}) / τ$ . H-теорема: $H = \sum f \ln f$ убывает — энтропия растёт, хотя каждое столкновение обратимо (график лупы).

Разреженный газ, вакуум и его измерение

Когда давление падает и $λ$ становится больше размера сосуда ( $Kn > 1$ ), молекулы бьются не друг о друга, а о стенки — молекулярное (кнудсеновское) течение. Теперь вязкость и теплопроводность пропорциональны давлению. Получение вакуума: ротационный насос — до ≈ 1 Па (форвакуум), затем турбомолекулярный или диффузионный насос — $10^{- 5}$ Па и ниже; предел определяется газами, выделяющимися из стенок. Измерение: деформационный (мембранный, Бурдона) манометр $10^{5}$ – $10^{2}$ Па, тепловой манометр (Пирани, термопарный) в области, где теплопроводность газа зависит от $p$ , $10^{3}$ – $10^{- 1}$ Па, ниже — ионизационный манометр.

Сосуд Дьюара (термос)

Теплота уходит тремя путями: теплопроводностью, конвекцией, излучением. Если откачать воздух из зазора между стенками ( $Kn ≫ 1$ ), тепловой поток через газ уменьшается пропорционально давлению; конвекция тоже исчезает. Зеркальное покрытие ( $ε \approx 0,03$ ) уменьшает излучение в десятки раз. Остальные потери — в основном через пробку. Эксперимент: меняйте давление в зазоре — от $10^{5}$ до $10^{2}$ Па тепловой поток почти не меняется (континуум), и лишь когда $λ$ достигает ширины зазора ( $\sim 1$ Па), резко падает.

Растворы, осмос и перенос в жидкостях

Полупроницаемая мембрана пропускает молекулы воды, но не пропускает молекулы сахара: вода переходит к раствору и поднимает столб, пока гидростатическое давление не сравняется с осмотическим давлением $π = c R T$ (закон Вант-Гоффа для разбавленных растворов). Так работают изюм, растительные клетки, почка; если приложить к раствору давление больше $π$ — обратный осмос (опреснение морской воды). Над искривлённой поверхностью давление насыщенного пара больше (формула Кельвина): для капли воды радиусом 10 нм примерно на 11 %. Диффузия в жидкостях в $\sim 10^{4}$ раз медленнее, чем в газах (для сахара $D \approx 5 \cdot 10^{- 10}$ м²/с), а вязкость при повышении температуры уменьшается — у газов наоборот.

Знаете ли вы?

Сосуд с вакуумированными стенками в 1892 году изобрёл шотландский физик Джеймс Дьюар для хранения сжиженных газов; современные термосы — бытовой вариант этого сосуда.
В воздухе на уровне моря каждая молекула сталкивается примерно $7 \cdot 10^{9}$ раз в секунду и между двумя столкновениями проходит в среднем всего около 70 нм.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Фазовые переходы — 10 класс
Тепловое расширение — 10 класс
Холодильник и тепловой насос — 10 класс
Реальные газы — 10 класс
Распределения Максвелла и Больцмана — 10 класс
Квантовая статистика — 4 курс
Фазовый переход и флуктуации — 4 курс