Fizika · Molekulyar fizika va termodinamika · 4-kurs

Kvant statistikasi

Nega metalldagi elektronlar issiqlik sig‘imiga deyarli hissa qo‘shmaydi?

Vaziyat

Misning har bir atomi bittadan erkin elektron beradi. Klassik fizikaga ko‘ra bu elektronlar issiqlik sig‘imiga yana $\frac{3}{2} R$ qo‘shishi kerak edi — lekin tajriba buni ko‘rsatmaydi. 1995-yilda fiziklar rubidiy atomlarini 200 nK dan past haroratgacha sovitib, ularni bitta kvant holatga «yig‘ishdi». Osmonda esa Yer kattaligidagi yulduzlar — oq mittilar — o‘z og‘irligi ostida ezilib ketmaydi. Uchala hodisaning siri bitta: zarralar fermionmi yoki bozonmi. Bu qanday ishlaydi?

Mavzu

Kvant statistikasi: fermionlar va bozonlar. Metalldagi elektron gaz va lazer bilan sovitilgan atomlar kondensati

Asosiy tushunchalar

Fermi–Dirak va Boze–Eynshteyn
Fermi energiyasi
Debay T³ qonuni

Formulalar

\overline{n} (ε) = \frac{1}{e^{(ε - μ) / k T} \pm 1}, {\overline{n}}_{M B} = e^{- (ε - μ) / k T}

Fermi–Dirak (+) va Boze–Eynshteyn (−) taqsimotlari; $e^{(ε - μ) / k T} ≫ 1$ da ikkalasi Maksvell–Bolsmanga o‘tadi.

E_{F} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} {(3 π^{2} n)}^{2 / 3}, C_{e} = \frac{π^{2}}{2} N k \frac{T}{T_{F}}

Aynigan elektron gaz: Fermi energiyasi va elektron issiqlik sig‘imi ( $T ≪ T_{F}$ ).

C_{V} = 9 N k {(\frac{T}{θ_{D}})}^{3} \int_{0}^{θ_{D} / T} \frac{x^{4} e^{x} d x}{{(e^{x} - 1)}^{2}} \overset{\overset{}{T ≪ θ_{D}}}{\to} \frac{12 π^{4}}{5} N k {(\frac{T}{θ_{D}})}^{3}

Debay nazariyasi; yuqori haroratda Dyulong–Pti qonuni $C = 3 R$ .

k T_{C} = ℏ \overline{ω} {(\frac{N}{ζ (3)})}^{1 / 3} \approx 0,94 ℏ \overline{ω} N^{1 / 3}, \frac{N_{0}}{N} = 1 - {(\frac{T}{T_{C}})}^{3}

Garmonik tuzoqdagi ideal Boze gaz: kondensatsiya harorati va kondensat ulushi. Bir jinsli gaz uchun $T_{C} = \frac{2 π ℏ^{2}}{m k} {(\frac{n}{2,612})}^{2 / 3}$ .

M_{C h} \approx \frac{5,83}{μ_{e}^{2}} M_{⊙} \approx 1,46 M_{⊙} (μ_{e} = 2), R \propto M^{- 1 / 3}

Oq mitti: aynish bosimi ushlab tura oladigan eng katta massa (Chandrasekar chegarasi); norelyativistik sohada og‘irroq mitti kichikroq.

Nazariya

Fermionlar va bozonlar

Spini yarim butun zarralar — fermionlar (elektron, proton): Pauli prinsipi bo‘yicha bitta holatda bittadan ortiq bo‘lolmaydi, $\overline{n} \leq 1$ . Spini butun — bozonlar (foton, fonon, ⁸⁷Rb atomi): bir holatga yig‘ilishni «yoqtiradi». Zarralar siyrak va issiq bo‘lsa ( $n λ^{3} ≪ 1$ , $λ$ — de Broyl to‘lqin uzunligi) farq yo‘qoladi — Maksvell–Bolsman statistikasi. Fluktuatsiyalar ham farq qiladi: bozonlar uchun $⟨ Δ n^{2} ⟩ = \overline{n} (1 + \overline{n})$ , fermionlar uchun $\overline{n} (1 - \overline{n})$ — foton gazidagi bu fluktuatsiyalar sezgir asboblarning chegarasini belgilaydi. Nurlanish ostidagi yarimo‘tkazgich yoki lazerdagi kabi muvozanatda bo‘lmagan gazlarda taqsimot bu formulalardan chetlanadi.

Aynigan elektron gaz, Fermi sferasi

$T = 0$ da elektronlar eng past holatlardan boshlab $E_{F}$ gacha to‘ladi: $k$ -fazoda bu Fermi sferasi (ekrandagi nuqtalar — ruxsat etilgan holatlar). Mis uchun $E_{F}$ = 7,0 eV, $T_{F} \approx 81 600$ K: xona haroratida $k T = 0,026$ eV juda kichik, gaz kuchli aynigan. Faqat Fermi sirti yaqinidagi $\sim k T$ qalinlikdagi qatlam uyg‘ona oladi. Holatlar zichligi $g (ε) \propto \sqrt{ε}$ . Kristallda energiya zonalarga bo‘linadi: zona qisman to‘lgan bo‘lsa — metall, to‘la zona va keng taqiqlangan zona — dielektrik, tor taqiqlangan zona — yarimo‘tkazgich (batafsil «Qattiq jismlarning zona nazariyasi» tajribasida).

Elektron issiqlik sig‘imi va magnit xossalar

Klassik nazariya har mol elektron uchun $\frac{3}{2} R$ beradi; aslida $C_{e} = γ T$ , $γ = π^{2} R / (2 T_{F})$ — mis uchun erkin elektron modelida 0,50 mJ/(mol·K²), tajribada 0,695 mJ/(mol·K²) (farq — effektiv massa). Panjara hissasi $T^{3}$ bo‘lgani uchun $γ T$ faqat bir necha kelvinda seziladi: $C / T$ ni $T^{2}$ ga qarab chizsak — to‘g‘ri chiziq, uning $C / T$ o‘qidan kesgan kesmasi — $γ$ . Xuddi shu sababli spinlarni faqat $E_{F}$ yaqinidagi elektronlar bura oladi: Pauli paramagnetizmi kichik va haroratga bog‘liq emas; orbital harakat Landau diamagnetizmini beradi (Pauli paramagnetizmining $- \frac{1}{3}$ qismi).

Qattiq jism issiqlik sig‘imi: Dyulong–Pti, Eynshteyn, Debay

Klassik teng taqsimlanish teoremasi: har bir kvadratik erkinlik darajasiga $\frac{1}{2} k T$ (virial teoremasi bo‘yicha tebranishda kinetik va potensial energiya teng) — $3 N$ ossillyator uchun $C = 3 R \approx 24,9$ J/(mol·K) (Dyulong–Pti). Past haroratda $C$ kamayadi — energiya kvantlangan. Eynshteyn (1907): hamma atomlar bir xil chastota — $C$ eksponensial tushadi (juda tez). Debay (1912): tebranishlar — fononlar, holatlar zichligi $\propto ω^{2}$ , $ω_{D}$ gacha; natija $C \propto T^{3}$ , $θ_{D}$ — Debay harorati. Foton gazi ham xuddi shunday: energiya $\propto T^{4}$ (Plank formulasi, «Issiqlik nurlanishi va Plank gipotezasi» tajribasi). Ikki atomli gazda aylanma va tebranma erkinlik darajalari ham xuddi shunday «muzlaydi». Garmonik panjara isiganda kengaymasdi va issiqlikni cheksiz yaxshi o‘tkazardi — angarmonizm tufayli fononlar sochiladi, jism kengayadi.

Boze–Eynshteyn kondensatsiyasi

$T < T_{C}$ da bozonlarning makroskopik qismi eng past holatga tushadi. Garmonik tuzoqda $N_{0} / N = 1 - {(T / T_{C})}^{3}$ . Tajribada tuzoq o‘chiriladi, bulut bir necha millisekund uchib kengayadi va soyasi suratga olinadi: keng issiqlik buluti ustida o‘tkir cho‘qqi — kondensat. Tor yo‘nalishda kondensat tezroq kengayadi (noaniqlik prinsipi), shuning uchun uning shakli «ag‘dariladi». Model — o‘zaro ta’sirsiz ideal gaz, issiqlik buluti Gauss shaklida; haqiqiy kondensat o‘zaro ta’sir tufayli kengroq.

Oq mittilar va Chandrasekar chegarasi

Oq mittini tortishish kuchiga qarshi issiqlik bosimi emas, elektronlarning aynish bosimi ushlab turadi (Pauli prinsipi). Norelyativistik gazda $P \propto ρ^{5 / 3}$ , natija $R \propto M^{- 1 / 3}$ — og‘irroq mitti kichikroq! Massa ortgach, elektronlar relyativistik bo‘ladi ( $x = p_{F} / m_{e} c > 1$ ), $P \propto ρ^{4 / 3}$ , va eng katta massa paydo bo‘ladi: $M_{C h} \approx 1,46 M_{⊙}$ ( $μ_{e} = 2$ , ko‘pincha «1,4» deb aytiladi). Undan og‘irroq qoldiq neytron yulduz yoki qora tuynukka aylanadi. Tajribada gidrostatik muvozanat tenglamasi to‘liq relyativistik holat tenglamasi bilan sonli yechiladi.

Bilasizmi?

1995-yilda JILA (AQSh) guruhi rubidiy-87 atomlari bug‘ini taxminan 170 nK gacha sovitib, birinchi atom Boze–Eynshteyn kondensatini oldi. 2001-yilda E. Kornell, K. Viman (JILA) va natriy atomlarida kondensat olgan V. Ketterle (MIT) bu kashfiyot uchun Nobel mukofotiga sazovor bo‘ldi.
Sirius B — Sirius yulduzining yo‘ldoshi — massasi taxminan Quyosh massasiga teng, kattaligi esa Yerdan sal kichik. Uning moddasidan bir choy qoshig‘i Yerda taxminan 10 tonna tortadi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.