Fizika · Molekulyar fizika va termodinamika · 10-sinf

Maksvell va Bolsman taqsimoti

Tasodifiy to‘qnashuvlardan qanday qilib aniq qonuniyat — Gauss egri chizig‘i chiqadi?

Vaziyat

Havoning har bir molekulasi sekundiga milliardlab marta to‘qnashadi va uning tezligini oldindan aytib bo‘lmaydi. Lekin trillionlab molekulalar birgalikda qat’iy qonunga bo‘ysunadi: tezliklari bo‘yicha ular Maksvell egri chizig‘i bo‘ylab taqsimlanadi, balandlik bo‘yicha esa havo eksponenta bo‘yicha siyraklashadi — Katta Chimyon cho‘qqisida (3309 m) havo bosimi dengiz sathidagidan taxminan uchdan bir qism past. Galton taxtasida ham har bir sharcha tasodifiy yo‘l tanlaydi, minglab sharchalar esa chiroyli qo‘ng‘iroqsimon egri chiziq hosil qiladi. Tasodifdan qanday qilib aniq qonuniyat paydo bo‘ladi?

Mavzu

Maksvell va Bolsman taqsimotlari. Galton taxtasi va tog‘dagi siyrak havo: tasodifdan qonuniyat

Asosiy tushunchalar

Gauss va Maksvell taqsimoti
Barometrik formula
Erkinlik darajalari

Formulalar

P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}, ⟨ k ⟩ = n p, σ^{2} = n p q

Binomial taqsimot: $n$ ta mustaqil sinovda $k$ ta “o‘ngga”. Katta $n$ da u Gauss egri chizig‘iga, kichik $p$ da Puasson taqsimotiga ( $λ = n p$ ) o‘tadi.

f (v) = 4 π {(\frac{m_{0}}{2 π k T})}^{3 / 2} v^{2} e^{- m_{0} v^{2} / 2 k T}

Maksvell taqsimoti: $f (v) d v$ — tezligi $v$ va $v + d v$ oralig‘idagi molekulalar ulushi.

v_{e} = \sqrt{\frac{2 k T}{m_{0}}}, ⟨ v ⟩ = \sqrt{\frac{8 k T}{π m_{0}}}, v_{k v} = \sqrt{\frac{3 k T}{m_{0}}}

Eng ehtimolli, o‘rtacha arifmetik va o‘rtacha kvadratik tezliklar: $1 : 1,128 : 1,225$ .

n (h) = n_{0} e^{- m_{0} g h / k T}, p (h) = p_{0} e^{- M g h / R T}

Bolsman taqsimoti va barometrik formula (harorat o‘zgarmas deb).

⟨ ε ⟩ = \frac{i}{2} k T, C_{V} = \frac{i}{2} R

Energiyaning erkinlik darajalari bo‘yicha teng taqsimlanishi: $i$ — “faol” erkinlik darajalari soni.

Nazariya

Tasodif va qonuniyat: statistik usul

Makroskopik tizimni uch xil o‘rganish mumkin: dinamik (har bir zarra uchun Nyuton tenglamalari — 10²³ zarra uchun amalda imkonsiz), statistik (ehtimollar va o‘rtacha qiymatlar) va termodinamik (molekulalarni eslamasdan, faqat makroskopik qonunlar). Galton taxtasida har bir mix oldida sharcha o‘ngga yoki chapga $p$ va $q = 1 - p$ ehtimol bilan og‘adi; qarorlar statistik mustaqil. Natija — binomial taqsimot, katta $n$ da esa Gauss egri chizig‘i (ko‘p mustaqil tasodiflar yig‘indisi doim shunday — markaziy limit teoremasi). Taqsimotning kengligi $σ = \sqrt{n p q}$ , nisbiy fluktuatsiya $σ / ⟨ k ⟩ \propto 1 / \sqrt{n}$ ; $N$ ta sharcha bo‘yicha o‘lchangan o‘rtacha qiymatning xatoligi ham $\propto 1 / \sqrt{N}$ — grafikda ko‘ring. $p$ juda kichik bo‘lsa (kam uchraydigan hodisa — masalan, 1 s da yadrolar parchalanishi) taqsimot Puasson qonuniga o‘tadi.

Maksvell taqsimoti

Har bir tezlik komponentasi ( $v_{x}$ , $v_{y}$ , $v_{z}$ ) mustaqil ravishda Gauss bo‘yicha taqsimlangan. Tezlik moduli uchun esa sfera qatlami hajmi $4 π v^{2} d v$ qo‘shiladi va Maksvell egri chizig‘i chiqadi: sekin molekulalar kam (ular uchun “joy” kichik), juda tezlari ham kam (eksponenta). Harorat oshsa yoki molekula yengillashsa, cho‘qqi o‘ngga siljiydi va pasayadi (egri chiziq ostidagi yuza doim 1). Nisbiy tezlik $u = v / v_{e}$ da taqsimot barcha gaz va haroratlar uchun bir xil: $f (u) = \frac{4}{\sqrt{π}} u^{2} e^{- u^{2}}$ . Molekulyar-kinetik nazariyaning asosiy tenglamasi $p = \frac{1}{3} n m_{0} ⟨ v^{2} ⟩ = n k T$ tezliklar kvadratining o‘rtachasini bosim bilan bog‘laydi. Model: 1000 ta “vakil” molekula tasodifiy juft to‘qnashuvlar bilan (DSMC); harakat ekranda ko‘p ming marta sekinlashtirilgan.

Shtern tajribasi

1920-yilda Otto Shtern kumush qoplangan platina simni vakuumda qizdirdi. Bug‘langan kumush atomlari ichki silindr tirqishidan chiqib, tashqi silindrga uriladi va iz qoldiradi. Asbob tinch tursa, iz tirqish ro‘parasida. Asbob $ω$ burchak tezlik bilan aylansa, atom uchib o‘tguncha ( $t = (R - r) / v$ ) silindr burilib ulguradi va iz $s = ω R (R - r) / v$ ga siljiydi — shundan $v$ topiladi. Izning yoyilib ketgani atomlar tezligi har xil ekanini ko‘rsatadi. Keyinchalik aylanuvchi tishli disklar (tezlik selektori) bilan o‘tkazilgan aniq tajribalar (masalan, Miller va Kush, 1955) taqsimotni Maksvell qonuni bilan katta aniqlikda tasdiqladi. Nurdagi atomlar oqimi $v^{3} e^{- m_{0} v^{2} / 2 k T}$ ga proporsional — tez atomlar tirqishdan tez-tez o‘tadi.

Bolsman taqsimoti va barometrik formula

Kuch maydonida zarralar konsentratsiyasi potensial energiyaga bog‘liq: $n \propto e^{- E_{p} / k T}$ (Bolsman taqsimoti). Og‘irlik maydonida $E_{p} = m_{0} g h$ : havo zichligi har $H = k T / (m_{0} g) \approx 8$ km da $e$ marta kamayadi. Og‘ir gaz (ksenon) pastda to‘planadi, yengil (vodorod, geliy) baland ko‘tariladi; harorat oshsa, ustun “cho‘ziladi”. Haqiqiy atmosferada harorat balandlik bilan pasayadi va shamol gazlarni aralashtiradi, lekin formula yaxshi yaqinlashish. Tezlik va joy birga — Maksvell–Bolsman taqsimoti $\propto e^{- (E_{k} + E_{p}) / k T}$ . Aylanuvchi tizimda markazdan qochma potensial $- m_{0} ω^{2} r^{2} / 2$ : og‘ir molekulalar devorga yig‘iladi — gaz sentrifugalari uran izotoplarini shunday ajratadi. Ustundagi har bir qatlam zarra almashadi (katta kanonik ansambl): muvozanatda kimyoviy potensial $μ = k T \ln n + m_{0} g h$ hamma joyda bir xil — bu ham barometrik formulani beradi.

Gibbs taqsimoti va ansambllar

Izolyatsiya qilingan tizimda (energiya aniq — mikrokanonik ansambl) barcha mumkin bo‘lgan mikroholatlar teng ehtimolli. Uning kichik qismi — masalan, bitta molekula — qolganlari bilan issiqlik almashadi, va uning energiyasi Gibbs kanonik taqsimotiga bo‘ysunadi: $w_{i} \propto e^{- E_{i} / k T}$ . Normallashtiruvchi statistik summa $Z = \sum_{i} e^{- E_{i} / k T}$ barcha termodinamikani beradi: erkin energiya $F = - k T \ln Z$ . Klassik (kvaziklassik) chegarada yig‘indi faza fazosi bo‘yicha integralga aylanadi — Maksvell va Bolsman taqsimotlari shundan kelib chiqadi; kvant tizimlarda ansambl zichlik matritsasi bilan beriladi. Statistik fizikaning asosiy (ergodik) farazi: bitta tizim uchun uzoq vaqt bo‘yicha o‘rtacha ko‘p nusxalar — ansambl bo‘yicha o‘rtacha bilan teng. Galton taxtasida bitta sharchaning 12 ta qaroridagi “o‘ngga” ulushi ham, ko‘p sharchalar bo‘yicha ulush ham $p$ ga intiladi.

Erkinlik darajalari va issiqlik sig‘imi

Bir atomli molekulada 3 ta ilgarilanma erkinlik darajasi bor: $⟨ ε ⟩ = \frac{3}{2} k T$ , $C_{V} = \frac{3}{2} R$ . Ikki atomli molekula yana 2 ta o‘q atrofida aylanadi: $C_{V} = \frac{5}{2} R$ . Tebranish ikki kvadratik had beradi — kinetik va potensial energiya (garmonik ossillator uchun virial teorema: ularning o‘rtachasi teng), shuning uchun $k T$ va $C_{V} = \frac{7}{2} R$ . Lekin kvant mexanikasi bo‘yicha energiya pog‘onali: $k T$ pog‘onadan kichik bo‘lsa, erkinlik darajasi “muzlaydi”. Vodorodning aylanishi taxminan 100 K dan past haroratda muzlaydi, azotning tebranishi esa xona haroratida ham muzlagan ( $θ_{t e b} = 3374$ K), xlorning tebranishi esa qisman faol. Laboratoriya: gazni o‘zgarmas hajmda $Q$ issiqlik bilan isiting, termometr barqarorlashgach $Δ T$ ni o‘lchang: $C_{V} = Q / (ν Δ T)$ . Termometr ko‘rsatkichi biroz “titraydi”: 2000 ta vakil molekulada energiya ilgarilanma va aylanma harakat orasida tasodifan qayta taqsimlanadi. Bu fluktuatsiya Gauss qonuniga bo‘ysunadi va nisbiy kattaligi $\propto 1 / \sqrt{N}$ — 10²³ ta molekulali haqiqiy gazda u sezilmaydi. Model: ν = 1 mol, V = 27 L; aylanish uchun vodorodning o‘lchangan egri chizig‘iga moslangan formula, tebranish — Eynshteyn ossillatori; energiya almashinuvi — Larsen–Borgnakke usulidagi juft to‘qnashuvlar.

Bilasizmi?

Otto Shtern 1943-yilda fizika bo‘yicha Nobel mukofotiga sazovor bo‘lgan — molekulyar nurlar usulini rivojlantirgani va protonning magnit momentini kashf etgani uchun.
Havo tarkibi (taxminan 78 % azot va 21 % kislorod) 100 km balandlikkacha deyarli o‘zgarmaydi: shamol va konveksiya gazlarni aralashtirib turadi, og‘irroq gazlar pastda alohida to‘planib qolmaydi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.