Fizika · Molekulyar fizika va termodinamika · 4-kurs

Fazaviy o‘tish va fluktuatsiya

Qizdirilgan magnit nega birdan tortmay qoladi va bu nuqtada nima titraydi?

Vaziyat

Muzlatgich eshigidagi qora keramik (ferrit) magnitga bir nechta qog‘oz qisqichni zanjir qilib osamiz va uni elektr plitka ustida qizdiramiz. Taxminan 450 °C ga yetganda qisqichlar birin-ketin tushib ketadi — magnit o‘z kuchini yo‘qotadi. Kritik nuqtasi yaqinidagi karbonat angidrid solingan shisha ampula esa sutdek oqarib ketadi. Nega tartib ma’lum haroratda birdan yo‘qoladi va bu nuqtada aynan nima «titraydi»?

Mavzu

Fazaviy o‘tishlar va fluktuatsiyalar. Magnitni qizdirish: Kyuri nuqtasida magnitlanish yo‘qoladi (Izing modeli)

Asosiy tushunchalar

Izing modeli (Metropolis)
Kyuri nuqtasi, Landau nazariyasi
Fluktuatsiya, Reley sochilishi

Formulalar

E = - J \sum_{⟨ i j ⟩} s_{i} s_{j} - h \sum_{i} s_{i}, s_{i} = \pm 1

Izing modeli: qo‘shni spinlar bir tomonga qarasa energiya kichik ( $J > 0$ — ferromagnetik).

P = \min (1, e^{- Δ E / k T})

Metropolis algoritmi: kompyuter spinni Bolsman ehtimoli bilan ag‘daradi.

k T_{C} = \frac{2 J}{\ln (1 + \sqrt{2})} \approx 2,269 J, m = {(1 - \sinh^{- 4} \frac{2 J}{k T})}^{1 / 8}

Onsager (1944) aniq yechimi: Kyuri nuqtasi; spontan magnitlanish formulasi (Onsager e’lon qilgan, Yang 1952-yilda isbotlagan).

F (m) = F_{0} + a (T - T_{C}) m^{2} + b m^{4} - h m

Landau nazariyasi: tartib parametri $m$ bo‘yicha qator. $T < T_{C}$ da ikki minimum.

χ = \frac{N (⟨ m^{2} ⟩ - {⟨ m ⟩}^{2})}{k T}, C = \frac{⟨ E^{2} ⟩ - {⟨ E ⟩}^{2}}{k T^{2}}, \frac{σ}{⟨ X ⟩} \propto \frac{1}{\sqrt{N}}

Qabul qiluvchanlik va issiqlik sig‘imi — fluktuatsiyalardan; nisbiy fluktuatsiya $1 / \sqrt{N}$ kabi kamayadi.

Nazariya

Ferromagnetizm va Izing modeli

Temir, nikel kabi ferromagnetiklarda qo‘shni atomlarning spinlari almashinuv o‘zaro ta’siri (kvant effekti) tufayli bir tomonga qarashga intiladi — makroskopik sohalar, domenlar hosil bo‘ladi (ferritlarda ikki panjaracha momentlari qarama-qarshi, lekin teng emas — ferrimagnetizm, yig‘indi magnitlanish noldan farqli). Issiqlik harakati bu tartibni buzadi. Izing modeli eng sodda manzara: panjara tugunlarida faqat «yuqori» yoki «past» spinlar. Ekrandagi panjara — magnit ichidagi kichik sohaning «lupadan» ko‘rinishi; uni Metropolis usuli (Monte-Karlo) bilan hisoblaymiz. Ferritlar (temir oksidlari) — keramik magnitlar va transformator o‘zaklari materiali. Gisterezis va domenlar laboratoriyasi — «Moddaning magnit xossalari» tajribasida.

Kyuri nuqtasini aniqlash (laboratoriya)

Tartib parametri — magnitlanish $m$ : $T_{C}$ da u nolga tushadi. Kyuri nuqtasida qabul qiluvchanlik $χ$ va issiqlik sig‘imi $C$ maksimumga erishadi — shu bo‘yicha $T_{C}$ topiladi. Haroratni qadam-baqadam o‘zgartirib, har nuqtada $m$ va $χ$ ni yozing (yoki avtomatik o‘lchashni yoqing). Cheklangan panjarada cho‘qqi $T_{C}$ dan biroz yuqorida: L = 64 da $\approx 2,30$ – $2,35 J / k$ . Harorat shkalasi tanlangan materialga moslangan: $T = (T_{I z i n g} / 2,269) \cdot T_{C}$ ; ferrit uchun $T_{C} \approx 450$ °C, temir 770 °C, gadoliniy ≈ 20 °C.

Birinchi va ikkinchi tur fazaviy o‘tishlar

Erenfest tasnifi: birinchi tur o‘tishda erkin energiyaning birinchi hosilalari (zichlik, magnitlanish, entropiya) sakraydi — yashirin issiqlik, gisterezis, metastabil holatlar (qaynash, erish). $T < T_{C}$ da maydon $h$ ni musbatdan manfiyga o‘tkazsangiz, $m$ sakraydi va sirtmoq hosil bo‘ladi. Ikkinchi tur o‘tishda $m$ uzluksiz nolga tushadi, ikkinchi hosilalar — $C$ , $χ$ — sakraydi yoki cheksizlikka intiladi (Kyuri nuqtasi, suyuqlik–bug‘ kritik nuqtasi). Ikkinchi tur o‘tish chizig‘i bo‘ylab bu sakrashlarni Erenfest tenglamalari bog‘laydi.

Landau nazariyasi

Landau $F$ ni tartib parametri bo‘yicha qatorga yoydi: $F = F_{0} + a (T - T_{C}) m^{2} + b m^{4} - h m$ . $T > T_{C}$ da bitta minimum ( $m = 0$ ), $T < T_{C}$ da ikkita simmetrik minimum — tizim ulardan birini tanlaydi (simmetriyaning o‘z-o‘zidan buzilishi; shar trekda shuni ko‘rsatadi). Nazariya $m_{0} \propto {(T_{C} - T)}^{1 / 2}$ va $C$ ning sakrashini beradi. Aniq 2D yechimda esa $m \propto {(T_{C} - T)}^{1 / 8}$ : $T_{C}$ yaqinida fluktuatsiyalar shunchalik kattaki, o‘rtacha maydon yondashuvi buziladi (Ginzburg mezoni) — grafikda solishtiring.

Fluktuatsiyalar: Gauss taqsimoti va 1/√N

Kattalikning o‘rtacha qiymatdan chetlanishi — fluktuatsiya, uning o‘lchovi dispersiya $σ^{2} = ⟨ x^{2} ⟩ - {⟨ x ⟩}^{2}$ . Termodinamik nazariya: chetlanish ehtimoli $\propto e^{Δ S / k}$ , bu Gauss taqsimotiga olib keladi. N ta mustaqil qismdan iborat additiv kattalikning nisbiy fluktuatsiyasi $\propto 1 / \sqrt{N}$ — makroskopik jismda sezilmaydi. Fluktuatsiyalar javob funksiyalari bilan bog‘langan: $⟨ Δ E^{2} ⟩ = k T^{2} C$ , $⟨ Δ M^{2} ⟩ = k T χ$ — tajribadagi $C$ va $χ$ aynan shunday hisoblanadi. Kichik tizimlarda bajarilgan ish ham fluktuatsiyalanadi. Issiqlik fluktuatsiyalari (galvanometr ko‘zgusining titrashi, rezistordagi shovqin, foton gazidagi fluktuatsiyalar) o‘lchov asboblarining sezgirlik chegarasini belgilaydi.

Korrelyatsiyalar va kritik opalessensiya

Juft korrelyatsiya funksiyasi $G (r) = ⟨ s_{0} s_{r} ⟩ - {⟨ s ⟩}^{2}$ qo‘shni sohalar qanchalik «kelishib» tebranishini ko‘rsatadi: $G \propto e^{- r / ξ}$ , korrelyatsiya uzunligi $ξ$ esa $T_{C}$ da cheksizlikka intiladi. Ko‘p zarrali taqsimot funksiyalari uchun Bogolyubov zanjir tenglamalarida har bir tenglama keyingisiga bog‘liq; amalda zanjir yaqinlashish bilan uziladi. Panjarani panjara gazi deb qarasak (spin «yuqori» = molekula), zichlik fluktuatsiyalari yorug‘likni sochadi: Reley qonuni $I \propto 1 / λ^{4}$ — osmon ko‘k. Kritik nuqtada siqiluvchanlik va fluktuatsiyalar ulkan — modda sutdek oqaradi (kritik opalessensiya). 90° burchakda sochilgan yorug‘lik qutblangan.

Bilasizmi?

Lars Onsager 1944-yilda ikki o‘lchamli Izing modelini (maydonsiz holda) aniq yechgan. Kritik harorat $k T_{C} = 2 J / \ln (1 + \sqrt{2})$ ni esa undan oldin, 1941-yilda H. Kramers va G. Vanye simmetriya (duallik) yordamida topgan edi. Model Ernst Izing nomi bilan atalgan: u 1925-yilda bir o‘lchamli zanjirda fazaviy o‘tish bo‘lmasligini ko‘rsatgan.
Kritik opalessensiyani 1908-yilda M. Smoluxovskiy zichlik fluktuatsiyalari bilan tushuntirgan, 1910-yilda A. Eynshteyn sochilish intensivligi formulasini chiqargan. Karbonat angidridning kritik nuqtasi — taxminan 31 °C va 7,4 MPa.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.