Физика · Колебания и волны · 3 курс

Фурье: спектр звука

Как анализатор спектра с одного взгляда отличает трубу от круга?

Ситуация

В музыкальной комнате звучат флейта, дойра и дутар. Микрофон передаёт звук на осциллограф: флейта рисует на экране почти гладкую синусоиду, дутар — сложную, но повторяющуюся кривую, а у дойры повторения не видно вовсе. Можно ли любой периодический звук разложить в сумму простых синусоид? Как анализатор спектра с одного взгляда «узнаёт» инструмент?

Тема

Анализ Фурье. Спектр звука: различаем звучание дойры и нея

Ключевые понятия

Ряд Фурье
Спектр и БПФ
Явление Гиббса

Формулы

s (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin (2 π n f_{0} t)

Ряд Фурье (для нечётного сигнала): периодический сигнал — сумма синусоид с частотами, кратными $f_{0}$ .

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) \sin (2 π n f_{0} t) d t

Амплитуда $n$ -й гармоники. $T = 1 / f_{0}$ — период.

s_{меандр} (t) = \frac{4}{π} \sum_{n нечёт} \frac{\sin (2 π n f_{0} t)}{n}

Меандр: только нечётные гармоники, амплитуда убывает как $1 / n$ .

X_{k} = \sum_{m = 0}^{N - 1} x_{m} e^{- 2 π i k m / N}

Дискретное преобразование Фурье. БПФ вычисляет его за $N \log_{2} N$ операций ( $N = 4096$ , $Δ f = f_{s} / N \approx 3,9$ Гц).

f_{m n} = \frac{j_{m n}}{2 π R} \sqrt{\frac{T}{σ}}

Моды круглой мембраны: $j_{m n}$ — нули функции Бесселя ( $2,405; 3,832; 5,136; 5,520$ ), $T$ — натяжение, $σ$ — поверхностная плотность.

Теория

Сумма гармоник

Любой периодический сигнал (с периодом $T = 1 / f_{0}$ ) можно разложить в сумму синусоид с частотами $f_{0}, 2 f_{0}, 3 f_{0}, \dots$ — это ряд Фурье. Каждая синусоида — вращающийся вектор (фазор): длина — амплитуда, скорость вращения — частота. Высота конца цепочки фазоров на доске рисует именно сам сигнал (на экране замедлено в 1000 раз).

Спектр и БПФ

Спектр показывает, какая амплитуда на какой частоте. Анализатор берёт $N = 4096$ точек сигнала (0,256 с при $f_{s} = 16$ кГц), сглаживает их окном Ханна и вычисляет быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Разрешение по частоте $Δ f = f_{s} / N \approx 3,9$ Гц: более близкие пики сливаются.

Явление Гиббса

Если составлять разрывный сигнал (меандр, пилу) из конечного числа гармоник, у скачка появляется «выброс». С ростом числа гармоник он сужается и приближается к скачку, но его высота остаётся примерно 9 % от скачка. А среднеквадратичная ошибка стремится к нулю — ряд приближается к сигналу «по энергии».

Тембр инструмента

Звук флейты — почти синусоида: сильный основной тон и несколько слабых гармоник. Гармоники струны кратны целым числам, но зависят от места щипка (дутар защипнут при $x_{0} = L / 5$ : 5-й и 10-й гармоник нет). Моды мембраны дойры определяются нулями функции Бесселя: отношение частот 1 : 1,593 : 2,136 : 2,295 — не целые числа, поэтому форма волны не повторяется. Модель упрощена: идеальная мембрана (влияние воздуха и звон колечек не учтены), спектры инструментов приблизительные.

Интеграл Фурье и дельта-функция

Если бесконечно увеличивать период $T$ , расстояние между гармониками $f_{0} = 1 / T$ стремится к нулю, и ряд превращается в интеграл Фурье: $S (f) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t) e^{- 2 π i f t} d t$ , $s (t) = \int_{- \infty}^{\infty} S (f) e^{2 π i f t} d f$ . Спектр непериодического сигнала (одиночный удар, затухающая дойра) — теперь не отдельные линии, а непрерывная кривая. Чем короче сигнал, тем шире его спектр: $Δ t Δ f \sim 1$ . Анализатор тоже берёт лишь кусок сигнала длиной 0,256 с, поэтому каждая гармоника получается пиком шириной в несколько герц ( $1 / 0,256 с \approx 4$ Гц). Два предельных случая: спектр бесконечно длинной синусоиды — бесконечно узкий пик на $f_{0}$ с конечной площадью, дельта-функция Дирака $δ (f - f_{0})$ ( $δ = 0$ , если $f \neq f_{0}$ ; $\int δ d f = 1$ ); спектр же бесконечно короткого «щелчка» $δ (t)$ одинаков на всех частотах. Векторная алгебра, теоремы Гаусса и Стокса, криволинейные координаты и дельта-функция в полях — в эксперименте «Векторные поля: div и rot».

Знаете ли вы?

Жозеф Фурье в 1822 году опубликовал книгу «Аналитическая теория тепла»: в ней идея разложения функции в ряд синусов и косинусов использована для расчёта распространения тепла.
Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) опубликовали в 1965 году Дж. Кули и Дж. Тьюки. Похожий метод применял К. Ф. Гаусс примерно в 1805 году, но он был напечатан лишь после его смерти.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.