Физика · Колебания и волны · 11 класс

Струна дутара и звук

Почему при укорочении или натяжении струны звук становится выше?

Ситуация

Дутарист вращает колок и натягивает струну — звук становится тоньше. Если прижать палец к ладу и укоротить струну, нота станет ещё выше. Но если эту же ноту щипнуть у подставки, она звучит звонко, а если в середине струны — мягко и глухо. Как одна струна колеблется сразу на многих частотах и что определяет высоту ноты?

Тема

Звуковые волны. Струна дутара: длина струны и высота ноты

Ключевые понятия

Стоячие волны
Гармоники
Высота звука

Формулы

f_{n} = \frac{n}{2 L} \sqrt{\frac{T}{μ}}

Частоты стоячих волн на струне: $n = 1$ — основной тон, $n \geq 2$ — обертоны (гармоники).

v = \sqrt{\frac{T}{μ}}

Скорость волны на струне: $T$ — сила натяжения, $μ$ — масса 1 м струны.

λ_{n} = \frac{2 L}{n}

Длина стоячей волны на струне: на обоих концах узлы.

b_{n} \propto \frac{\sin (n π x_{0} / L)}{n^{2}}

Если оттянуть струну в точке $x_{0}$ и отпустить, амплитуда $n$ -й гармоники. Гармоники, у которых в $x_{0}$ узел, не возбуждаются.

λ_{возд} = \frac{c}{f}, c \approx 343 м/с

Длина звуковой волны в воздухе (20 °C).

Теория

Стоячая волна

От щипнутой струны волны бегут в обе стороны, отражаются от подставки и лада и складываются друг с другом (интерференция). Сохраняются только колебания, при которых на длине струны укладывается целое число полуволн: $L = n λ / 2$ . Неподвижные точки — узлы, места наибольших колебаний — пучности. Стоячая волна не переносит энергию вдоль струны: через узел энергия не проходит, в каждом участке она переходит между кинетической и потенциальной формами. В меню «Вид» посмотрите каждую гармонику отдельно.

Что определяет высоту ноты?

$f_{1} = \frac{1}{2 L} \sqrt{T / μ}$ : если увеличить натяжение в 4 раза, частота возрастёт в 2 раза. Если укоротить струну вдвое (12-й лад), частота тоже возрастёт в 2 раза — нота станет на одну октаву выше. Более тяжёлая (толстая) струна даёт более низкий звук. В модели лады в равномерно темперированном строе: каждый лад повышает частоту в $2^{1 / 12} \approx 1,0595$ раза. На настоящем дутаре лады привязаны к грифу нитью.

Тембр зависит от места щипка

Струну оттягивают в форме треугольника и отпускают. Если разложить эту форму в сумму синусоид, амплитуда $n$ -й гармоники пропорциональна $\sin (n π x_{0} / L) / n^{2}$ . При щипке посередине у всех чётных гармоник в середине узел — они вообще не возбуждаются, звук мягкий. При щипке у подставки возбуждается много гармоник — звук звонкий. В замедленном движении видно, как «излом» бежит вдоль струны.

От струны до уха

Сама тонкая струна почти не раскачивает воздух: через подставку она колеблет деку, а дека передаёт воздуху звуковую волну. Частота не меняется, а длина волны меняется: скорость на струне $\sqrt{T / μ}$ , а в воздухе 343 м/с. Волна на струне поперечная (струна колеблется перпендикулярно направлению волны), звук в воздухе — продольный (воздух сжимается и разрежается вдоль направления волны) и распространяется от инструмента сферической волной. В идеальной струне скорость не зависит от частоты, поэтому гармоники кратны точно целым числам; фазовая и групповая скорости, плоские волны и поток энергии волны — в эксперименте «Волна на верёвке и пружине». Модель упрощена: струна идеально гибкая, времена затухания гармоник приближённые; звук синтезируется из гармоник силы на подставке ( $\propto n b_{n}$ ).

Знаете ли вы?

Слово «дутар» происходит из персидского: «ду» — два, «тар» — струна, то есть «двухструнный» инструмент.
A4 = 440 Гц (нота «ля» первой октавы) — частота настройки, установленная международным стандартом ISO 16. На эту ноту опираются музыкальные инструменты и тюнеры.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.