Физика · Колебания и волны · 10 класс

Пружинный маятник

Почему машина без амортизаторов долго раскачивается после неровности?

Ситуация

На улицах Ташкента перед знаком «Искусственная неровность» водители сбрасывают скорость. Через одно и то же препятствие одни машины проезжают мягко, а другие ещё несколько раз покачиваются. Пружина между колесом и кузовом смягчает удар, а амортизатор гасит колебания. Какие пружина и амортизатор обеспечат пассажиру наибольший комфорт — и почему на неровной грунтовой дороге при определённой скорости машину трясёт особенно сильно?

Тема

Пружинный маятник. Амортизатор автомобиля: проезд через яму

Ключевые понятия

Закон Гука
Затухающие колебания
Резонанс

Формулы

m \ddot{x} = - k (x - y) - c (\dot{x} - \dot{y})

Модель четверти автомобиля: масса кузова $m$ , пружина $k$ , амортизатор $c$ , профиль дороги $y (t)$ .

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}, T = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g d}}

Периоды пружинного и физического маятников (без затухания, малая амплитуда). Для математического маятника $I = m l^{2}$ , $d = l$ : $T = 2 π \sqrt{l / g}$ .

ζ = \frac{c}{2 \sqrt{k m}}, β = \frac{c}{2 m}

Затухание: $ζ < 1$ — колебательное, $ζ = 1$ — критическое, $ζ > 1$ — апериодическое; $β$ — коэффициент затухания, логарифмический декремент $δ = \ln (A_{n} / A_{n + 1}) = β T$ , добротность $Q \approx π / δ$ .

v_{р е з} = f_{0} λ, f_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}

Резонансная скорость на волнистой дороге ( $λ$ — длина волны).

\frac{X}{Y} = \frac{\sqrt{1 + {(2 ζ r)}^{2}}}{\sqrt{{(1 - r^{2})}^{2} + {(2 ζ r)}^{2}}}, r = \frac{f}{f_{0}}

Отношение амплитуды кузова к амплитуде дороги в установившемся режиме.

Теория

Пружинный маятник

Груз на пружине колеблется около положения равновесия; возвращающая сила по закону Гука равна $F = - k x$ . Закон Ньютона $m \ddot{x} = - k x$ запишем в виде $\ddot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ , $ω_{0}^{2} = k / m$ — это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, его решение $x = A \cos (ω_{0} t + φ_{0})$ . Период $T = 2 π \sqrt{m / k}$ не зависит ни от амплитуды, ни от $g$ : сила тяжести лишь смещает положение равновесия вниз на $m g / k$ . В режиме лаборатории сравните измеренный период с формулой. Сложение колебаний одинаковой частоты — в эксперименте «Связанные колебания».

Математический и физический маятники

В лаборатории есть ещё два маятника. Математический маятник — маленький шарик на длинной нити: $T = 2 π \sqrt{l / g}$ . Физический маятник — твёрдое тело, колеблющееся около оси: $T = 2 π \sqrt{I / (m g d)}$ , $I$ — момент инерции относительно оси, $d$ — расстояние от оси до центра масс. Его можно заменить математическим маятником длиной $l_{k} = I / (m d)$ — это приведённая длина. Оборотный маятник (лабораторная работа): на стержне есть две призмы $O_{1}$ , $O_{2}$ и подвижный груз. Расположим груз так, чтобы при подвешивании маятника за обе призмы (с переворотом) периоды были равны — тогда $l_{k} = l_{0}$ (расстояние между призмами, которое измеряется точно) и $g = 4 π^{2} l_{0} / T^{2}$ . Знать $I$ и положение центра масс не нужно — в этом достоинство метода. При больших углах маятник нелинеен: период растёт с амплитудой (при 5° ≈ 0,05 %) — в эксперименте «Нелинейные колебания».

Амортизатор и затухание

Реальные колебания всегда затухают: трение и сопротивление среды превращают энергию в теплоту. Амортизатор — цилиндр, заполненный маслом, он создаёт силу, пропорциональную скорости: $F = - c \dot{x}$ . ζ < 1 — кузов раскачивается несколько раз; ζ = 1 (критическое затухание) — возвращение без колебаний и быстрее всего; ζ > 1 — медленное «ползучее» возвращение, а удар ощущается жёстче. В легковых автомобилях обычно ζ ≈ 0,2–0,4 — компромисс между комфортом и сцеплением колеса с дорогой.

Логарифмический декремент и добротность

При малом затухании $x = A_{0} e^{- β t} \cos ω t$ : амплитуда уменьшается экспоненциально (штриховая линия на графике), $β = c / (2 m)$ — коэффициент затухания, а частота немного уменьшается: $ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - β^{2}}$ . Логарифм отношения двух последовательных максимумов постоянен — это логарифмический декремент $δ = \ln (A_{n} / A_{n + 1}) = β T$ . Добротность $Q \approx π / δ$ — примерно через $Q / π$ колебаний амплитуда уменьшается в $e$ раз. В лаборатории увеличьте $β$ (как будто груз погружён в масло) и сравните измеренный $δ$ с $β T$ . В режиме автомобиля $ζ$ после неровности тоже находится так — по последовательным максимумам.

Резонанс

На волнистой дороге колесо поднимается и опускается с частотой $f = v / λ$ . Когда $f$ приближается к собственной частоте кузова $f_{0}$ , амплитуда кузова превышает амплитуду дороги в несколько раз — это резонанс. Амортизатор снижает резонансный пик. Поэтому на такой дороге и увеличение, и уменьшение скорости уменьшает тряску.

Упрощения модели

Четверть автомобиля с одной степенью свободы: четвёртая часть кузова ( $m$ ), колесо и шина жёсткие — точно повторяют профиль дороги и не отрываются от неё. Передняя и задняя оси считаются независимо; заднее колесо достигает препятствия через время $L / v$ — отсюда продольная качка кузова. Ускорение, которое ощущает пассажир, — это ускорение кузова $\ddot{x}$ . Масса пружины не учитывается; уравнения решаются методом РК4.

Знаете ли вы?

Роберт Гук в 1678 году опубликовал закон упругости в виде латинской фразы «Ut tensio, sic vis» — «каково растяжение, такова и сила».
В легковых автомобилях собственную частоту колебаний кузова обычно выбирают примерно 1–1,5 Гц; в спортивных автомобилях пружины жёстче, а частота выше.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Пружинный маятник

Ситуация

Тема

Ключевые понятия

Формулы

Теория

Пружинный маятник

Математический и физический маятники

Амортизатор и затухание

Логарифмический декремент и добротность

Резонанс

Упрощения модели

Знаете ли вы?

Что внутри эксперимента

Другие эксперименты раздела