Fizika · Tebranish va to‘lqinlar · 10-sinf

Prujinali mayatnik

Nega amortizatorsiz mashina to‘siqdan keyin uzoq chayqaladi?

Vaziyat

Toshkent ko‘chalarida «Sun’iy notekislik» belgisi oldidan haydovchilar sekinlashadi. Bir xil to‘siqdan ba’zi mashinalar yumshoq o‘tadi, boshqalari esa bir necha marta chayqalib qoladi. G‘ildirak va kuzov orasidagi prujina zarbani yumshatadi, amortizator esa tebranishni so‘ndiradi. Qanday prujina va amortizator yo‘lovchini eng qulay olib o‘tadi — va nega notekis grunt yo‘lda ma’lum bir tezlikda mashina ayniqsa qattiq silkinadi?

Mavzu

Prujinali mayatnik. Avtomobil amortizatori: chuqurdan o‘tish

Asosiy tushunchalar

Guk qonuni
So‘nuvchi tebranishlar
Rezonans

Formulalar

m \ddot{x} = - k (x - y) - c (\dot{x} - \dot{y})

Chorak avtomobil modeli: kuzov massasi $m$ , prujina $k$ , amortizator $c$ , yo‘l profili $y (t)$ .

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}, T = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g d}}

Prujinali va fizik mayatnik davrlari (so‘nishsiz, kichik amplituda). Matematik mayatnikda $I = m l^{2}$ , $d = l$ : $T = 2 π \sqrt{l / g}$ .

ζ = \frac{c}{2 \sqrt{k m}}, β = \frac{c}{2 m}

So‘nish: $ζ < 1$ — tebranma, $ζ = 1$ — kritik, $ζ > 1$ — aperiodik; $β$ — so‘nish koeffitsienti, logarifmik dekrement $δ = \ln (A_{n} / A_{n + 1}) = β T$ , asllik $Q \approx π / δ$ .

v_{r e z} = f_{0} λ, f_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}

To‘lqinsimon yo‘lda rezonans tezligi ( $λ$ — to‘lqin uzunligi).

\frac{X}{Y} = \frac{\sqrt{1 + {(2 ζ r)}^{2}}}{\sqrt{{(1 - r^{2})}^{2} + {(2 ζ r)}^{2}}}, r = \frac{f}{f_{0}}

Barqaror holatda kuzov amplitudasining yo‘l amplitudasiga nisbati.

Nazariya

Prujinali mayatnik

Prujinaga osilgan yuk muvozanat atrofida tebranadi; qaytaruvchi kuch Guk qonuni bo‘yicha $F = - k x$ . Nyuton qonuni $m \ddot{x} = - k x$ ni $\ddot{x} + ω_{0}^{2} x = 0$ , $ω_{0}^{2} = k / m$ ko‘rinishida yozamiz — bu garmonik tebranishlarning differensial tenglamasi, yechimi $x = A \cos (ω_{0} t + φ_{0})$ . Davr $T = 2 π \sqrt{m / k}$ amplitudaga ham, $g$ ga ham bog‘liq emas: og‘irlik kuchi faqat muvozanat holatini $m g / k$ ga pastga suradi. Laboratoriya rejimida o‘lchangan davrni formula bilan solishtiring. Bir xil chastotali tebranishlarni qo‘shish — «Bog‘langan tebranishlar» tajribasida.

Matematik va fizik mayatnik

Laboratoriyada yana ikki mayatnik bor. Matematik mayatnik — uzun ipdagi kichik sharcha: $T = 2 π \sqrt{l / g}$ . Fizik mayatnik — o‘q atrofida tebranuvchi qattiq jism: $T = 2 π \sqrt{I / (m g d)}$ , $I$ — o‘qqa nisbatan inersiya momenti, $d$ — o‘qdan massa markazigacha masofa. Uni uzunligi $l_{k} = I / (m d)$ bo‘lgan matematik mayatnik bilan almashtirish mumkin — keltirilgan uzunlik. Ag‘darma mayatnik (laboratoriya ishi): sterjenda ikki prizma $O_{1}$ , $O_{2}$ va ko‘chma yuk bor. Yukni shunday joylashtiramizki, mayatnikni ag‘darib ikkala prizmaga osganda davrlar teng bo‘lsin — shunda $l_{k} = l_{0}$ (prizmalar orasidagi masofa, aniq o‘lchanadi) va $g = 4 π^{2} l_{0} / T^{2}$ . $I$ va massa markazini bilish shart emas — usulning afzalligi shunda. Katta burchaklarda mayatnik nochiziqli: davr amplituda bilan ortadi (5° da ≈ 0,05 %) — «Nochiziqli tebranishlar» tajribasida.

Amortizator va so‘nish

Real tebranishlar doim so‘nadi: ishqalanish va muhit qarshiligi energiyani issiqlikka aylantiradi. Amortizator — moy to‘ldirilgan silindr, u tezlikka proporsional kuch beradi: $F = - c \dot{x}$ . ζ < 1 — kuzov bir necha marta chayqaladi; ζ = 1 (kritik so‘nish) — tebranishsiz va eng tez qaytadi; ζ > 1 — sekin «sudralib» qaytadi, zarba esa qattiqroq seziladi. Yengil avtomobillarda odatda ζ ≈ 0,2–0,4 — qulaylik va g‘ildirakning yo‘lga yopishishi orasidagi murosa.

Logarifmik dekrement va asllik

So‘nish kichik bo‘lsa, $x = A_{0} e^{- β t} \cos ω t$ : amplituda eksponensial kamayadi (grafikdagi uzuq chiziq), $β = c / (2 m)$ — so‘nish koeffitsienti, chastota esa biroz kichrayadi: $ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - β^{2}}$ . Ketma-ket ikki maksimum nisbatining logarifmi o‘zgarmas — logarifmik dekrement $δ = \ln (A_{n} / A_{n + 1}) = β T$ . Asllik $Q \approx π / δ$ — taxminan $Q / π$ tebranishdan keyin amplituda $e$ marta kamayadi. Laboratoriyada $β$ ni oshirib (yuk moyga botirilgandek), o‘lchangan $δ$ ni $β T$ bilan solishtiring. Avtomobil rejimida notekislikdan keyin $ζ$ ham shunday — ketma-ket maksimumlardan topiladi.

Rezonans

To‘lqinsimon yo‘lda g‘ildirak $f = v / λ$ chastota bilan ko‘tarilib-tushadi. $f$ kuzovning xususiy chastotasi $f_{0}$ ga yaqinlashganda kuzov amplitudasi yo‘lnikidan bir necha marta oshib ketadi — rezonans. Amortizator rezonans cho‘qqisini pasaytiradi. Shuning uchun bunday yo‘lda tezlikni oshirish yoki kamaytirish silkinishni kamaytiradi.

Model soddalashtirishlari

Bir erkinlik darajali chorak avtomobil: kuzovning to‘rtdan bir qismi ( $m$ ), g‘ildirak va shina qattiq — yo‘l profilini aniq takrorlaydi va yo‘ldan uzilmaydi. Old va orqa o‘q mustaqil hisoblanadi; orqa g‘ildirak to‘siqqa $L / v$ vaqtdan keyin yetadi — kuzovning bo‘ylama chayqalishi shundan. Yo‘lovchi sezadigan tezlanish — kuzov tezlanishi $\ddot{x}$ . Prujina massasi hisobga olinmagan; tenglamalar RK4 usuli bilan yechiladi.

Bilasizmi?

Robert Guk 1678-yilda elastiklik qonunini lotincha «Ut tensio, sic vis» — «cho‘zilish qanday bo‘lsa, kuch ham shunday» degan so‘zlar bilan e’lon qilgan.
Yengil avtomobillarda kuzovning xususiy tebranish chastotasi odatda taxminan 1–1,5 Hz qilib tanlanadi; sport avtomobillarida prujinalar qattiqroq, chastota ham yuqoriroq.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Arg‘imchoq — 10-sinf
Arqon va prujinadagi to‘lqin — 10-sinf
Tovush: tezlik, balandlik, UZI — 10-sinf
Dutor tori va tovush — 11-sinf
To‘lqinlar va Dopler effekti — 11-sinf
Ko‘prik rezonansi — 11-sinf
Bog‘langan tebranishlar — 11-sinf
Nochiziqli tebranishlar — 2-kurs
Fur’e: tovush spektri — 3-kurs