Fizika · Tebranish va to‘lqinlar · 2-kurs

Nochiziqli tebranishlar

Bola arg‘imchoqni itarmasdan qanday uchiradi, mayatnik esa qanday teskari turadi?

Vaziyat

Maktab hovlisida ukangiz arg‘imchoqda turibdi. Uni hech kim itarmayapti, lekin u har tebranishda o‘tirib-turib, arg‘imchoqni tobora balandroq uchiradi. Katta burchakda arg‘imchoq sekinroq tebranadi — darslikdagi $T = 2 π \sqrt{l / g}$ endi to‘g‘ri chiqmaydi. Fizika xonasida esa o‘qituvchi tayanchi titrab turgan mayatnikni teskari qo‘yadi — va u yiqilmaydi! Tebranish nochiziqli bo‘lsa yoki uning parametri davriy o‘zgarsa, nima bo‘ladi?

Mavzu

Nochiziqli tebranishlar, parametrik rezonans. Arg‘imchoqni o‘tirib-turib uchirish va Kapitsa mayatnigi

Asosiy tushunchalar

Angarmonik mayatnik
Parametrik rezonans
Kapitsa mayatnigi

Formulalar

T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K (\sin \frac{θ_{0}}{2}) \approx T_{0} (1 + \frac{θ_{0}^{2}}{16} + \frac{11 θ_{0}^{4}}{3072})

Katta amplitudali mayatnik davri: aniq (elliptik integral $K$ ) va ketma-ket yaqinlashish qatori.

\ddot{x} + 2 γ \dot{x} + ω_{0}^{2} x + β x^{3} = f \cos Ω t

Duffing tenglamasi — angarmonik ossillyator. Amplituda $A$ bo‘lganda chastota $ω \approx ω_{0} + \frac{3 β A^{2}}{8 ω_{0}}$ .

\ddot{θ} + ω_{0}^{2} [1 + h \cos Ω t] θ = 0, | Ω - 2 ω_{0} | < \frac{1}{2} h ω_{0}

Parametrik rezonans: parametr $Ω \approx 2 ω_{0} / n$ chastota bilan o‘zgarsa, tebranish o‘sadi. Birinchi zona — $Ω \approx 2 ω_{0}$ .

U_{e f} (θ) = - m g l \cos θ + \frac{m A^{2} Ω^{2}}{4} \sin^{2} θ \Rightarrow A^{2} Ω^{2} > 2 g l

Kapitsa mayatnigi: tez titrash effektiv potensial hosil qiladi; teskari holat shu shartda barqaror.

y^{''} + (a - 2 q \cos 2 τ) y = 0, a = \frac{4 ω_{0}^{2}}{Ω^{2}}, q = \frac{2 A}{l}

Mathieu tenglamasi: tayanchi $A \cos Ω t$ bo‘yicha titrayotgan mayatnik ( $τ = Ω t / 2$ ; teskari holat uchun $a < 0$ ).

Nazariya

Nega katta burchakda davr uzayadi?

Qaytaruvchi kuch $m g \sin θ$ — u $m g θ$ dan kichik: katta og‘ishda mayatnik «yumshoqroq» va sekinroq qaytadi. Aniq davr elliptik integral orqali ifodalanadi: $θ_{0} = 90 °$ da $T$ kichik tebranishlardagidan 18 % uzun, $θ_{0} \to 180 °$ da cheksizlikka intiladi — yuqori nuqta beqaror muvozanat. Galiley kashf etgan izoxronlik faqat kichik amplitudalar uchun to‘g‘ri. Faza portretida ( $θ$ , $ω$ ) yopiq egri chiziqlar tebranishlar, separatrisa esa tebranish bilan aylanish orasidagi chegara.

Nochiziqli tebranishlarni hisoblash usuli

Umumiy usul — ketma-ket yaqinlashishlar (Lindshtedt–Puankare): yechim va chastota amplituda bo‘yicha qatorga yoyiladi, har bir tartibda «rezonansli» hadlar yo‘qotiladi. Natija: chastota amplitudaga bog‘liq, $ω = ω_{0} (1 - θ_{0}^{2} / 16 + \dots)$ , tebranishda $3 ω$ , $5 ω$ garmonikalar paydo bo‘ladi. Grafikda qator va aniq egri chiziq solishtiriladi: qator 90° gacha yaxshi, 150° dan keyin keskin xato. So‘nuvchi mayatnikda (ishqalanishni yoqing) amplituda kamaygan sari o‘lchangan davr $T_{0}$ ga yaqinlashadi.

Angarmonik ossillyator va sakrash

Ikki tarang prujina orasidagi yuk ko‘ndalang siljiganda qaytaruvchi kuch $- ω_{0}^{2} x - β x^{3}$ ko‘rinishida — bu Duffing ossillyatori (qattiqlashuvchi prujina). Rezonans egri chizig‘i o‘ngga og‘adi: bir chastotada uchta yechim, o‘rtadagisi beqaror. Chastotani sekin oshirsangiz amplituda yuqori tarmoq bo‘ylab o‘sib, keyin keskin pastga sakraydi; kamaytirsangiz boshqa chastotada yuqoriga sakraydi — chastota bo‘yicha gisterezis.

Parametrik rezonans: arg‘imchoqni o‘tirib-turib uchirish

Bola arg‘imchoqni itarmaydi — u tizimning parametrini, osilish nuqtasidan og‘irlik markazigacha masofa $l$ ni o‘zgartiradi. Pastki nuqtada (markazdan qochma kuch eng katta) turib, chekka nuqtalarda o‘tirsa, har siklda energiya qo‘shiladi; bu bir davrda ikki marta, ya’ni $Ω = 2 ω_{0}$ . Metronom bo‘yicha (fazaga qaramay) o‘tirib-tursa, faqat $Ω$ beqarorlik zonasiga tushganda tebranish eksponensial o‘sadi; amplituda katta bo‘lgach chastota kamayib, rezonansdan chiqadi. Tinch turgan arg‘imchoqni parametrik usulda uchirib bo‘lmaydi — kichik boshlang‘ich tebranish kerak. Uzunlik modulyatsiyasi uchun effektiv chuqurlik $h_{e f} \approx 3 h$ .

Kapitsa mayatnigi

Tayanch tez titrasa ( $Ω ≫ ω_{0}$ ), mayatnik sekin harakati uchun qo‘shimcha effektiv potensial $\frac{1}{4} m A^{2} Ω^{2} \sin^{2} θ$ paydo bo‘ladi: u $θ = 0$ va $θ = π$ da minimal. Agar $A^{2} Ω^{2} > 2 g l$ bo‘lsa, teskari holat barqaror bo‘ladi — mayatnik tepada sekin tebranadi. Bu tez o‘zgaruvchan maydonda barqarorlik g‘oyasi ionlarni tutib turuvchi Paul tuzog‘ida ham ishlaydi.

Mathieu tenglamasi va barqarorlik xaritasi

Titrayotgan tayanchli mayatnikning kichik tebranishlari Mathieu tenglamasi bilan ifodalanadi. Bir davr davomidagi yechimni hisoblab (Floke nazariyasi), o‘sish ko‘paytuvchisi $| λ | > 1$ bo‘lgan sohalarni topamiz — bu xaritadagi qizil «tillar». Ular $Ω = 2 ω_{0} / n$ dan boshlanadi, ishqalanish ularni yuqoriga ko‘taradi (minimal chuqurlik kerak). Ikkala xarita ham tajribada aynan shu usul bilan hisoblanadi; nuqtani siljitib, nazariya va harakatni solishtiring.

Bilasizmi?

Santyago-de-Kompostela (Ispaniya) soboridagi ulkan tutatqi idishi — Botafumeiro — bir guruh odam arqonni ritmik tortib-bo‘shatishi bilan uchiriladi. Bu parametrik rezonansning asrlar davomida qo‘llanib kelayotgan namunasi.
Tayanchi titrayotgan teskari mayatnikni 1908-yilda A. Stivenson tasvirlagan, 1951-yilda P. L. Kapitsa nazariyasini bergan. Shu g‘oyaga yaqin tamoyilda ishlaydigan ion tuzog‘i uchun V. Paul 1989-yilda Nobel mukofotini olgan.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Tovush: tezlik, balandlik, UZI — 10-sinf
Dutor tori va tovush — 11-sinf
To‘lqinlar va Dopler effekti — 11-sinf
Ko‘prik rezonansi — 11-sinf
Bog‘langan tebranishlar — 11-sinf
Fur’e: tovush spektri — 3-kurs