Fizika · Tebranish va to‘lqinlar · 11-sinf

Bog‘langan tebranishlar

Prujina bilan ulangan ikki mayatnik nega navbatma-navbat tebranadi?

Vaziyat

1665-yilda gollandiyalik olim Kristian Gyuygens bitta to‘singa osilgan ikkita mayatnikli soatini kuzatib, g‘alati hodisani payqadi: qanday boshlanmasin, mayatniklar oxir-oqibat qarama-qarshi tebrana boshlardi. Ikki mayatnikni yengil prujina bilan ulab, faqat bittasini turtsangiz, yana ham qiziq narsa ko‘rasiz: birinchisi asta to‘xtaydi, ikkinchisi tebranib ketadi — keyin hammasi teskari takrorlanadi. Kristalldagi atomlar ham bir-biriga xuddi shunday «prujinalar» bilan bog‘langan. Energiya mayatnikdan mayatnikka — va atomdan atomga — qanday ko‘chadi?

Mavzu

Bog‘langan tebranishlar va normal modalar. Prujina bilan bog‘langan ikki mayatnik va atomlar zanjiri — fononlar

Asosiy tushunchalar

Tepkilar va normal modalar
Fononlar dispersiyasi
Lissaju shakllari

Formulalar

ω_{1} = \sqrt{\frac{g}{l}}, ω_{2} = \sqrt{\frac{g}{l} + \frac{2 k d^{2}}{m l^{2}}}

Bog‘langan mayatniklarning normal chastotalari: bir fazada (prujina cho‘zilmaydi) va qarama-qarshi fazada. Prujina yukka ulangan bo‘lsa ( $d = l$ ): $ω_{2} = \sqrt{g / l + 2 k / m}$ .

x = 2 A \cos \frac{(ω_{2} - ω_{1}) t}{2} \cos \frac{(ω_{2} + ω_{1}) t}{2}, T_{t} = \frac{2 π}{ω_{2} - ω_{1}}

Tepkilar: yaqin chastotali ikki tebranish yig‘indisi. Amplituda $T_{t}$ davr bilan o‘zgaradi; tovushda tepkilar soni sekundiga $| f_{2} - f_{1} |$ .

A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos (φ_{2} - φ_{1}), Z = \sqrt{R^{2} + {(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2}}

Bir xil chastotali tebranishlarni vektor diagramma bilan qo‘shish; RLC zanjirida kuchlanishlar xuddi shunday qo‘shiladi.

x = A \cos ω_{x} t, z = B \cos (ω_{z} t + δ), \frac{ω_{z}}{ω_{x}} = \sqrt{\frac{l_{x}}{l_{y}}}

O‘zaro perpendikulyar tebranishlar — Lissaju shakllari. Y-shaklidagi qum mayatnigida nisbatni ip uzunliklari belgilaydi.

ω = 2 \sqrt{\frac{K}{m}} | \sin \frac{q a}{2} |, ω_{\mp}^{2} = \frac{K}{μ} \mp K \sqrt{\frac{1}{μ^{2}} - \frac{4 \sin^{2} (q a / 2)}{m_{1} m_{2}}}

Bir atomli va ikki atomli zanjirning dispersiya qonuni: $q$ — to‘lqin soni, $a$ — panjara doimiysi, $1 / μ = 1 / m_{1} + 1 / m_{2}$ ; «−» — akustik, «+» — optik tarmoq.

Nazariya

Garmonik tebranish

Muvozanatdan chetlanganda qaytaruvchi kuch siljishga proporsional bo‘lsa, harakat garmonik: $\ddot{x} + ω^{2} x = 0$ , yechimi $x = A \cos (ω t + φ)$ . Prujinali mayatnikda $ω = \sqrt{k / m}$ , matematik mayatnikda $ω = \sqrt{g / l}$ , fizik mayatnikda $ω = \sqrt{m g a / I}$ ( $a$ — osilish nuqtasidan massa markazigacha masofa). Bitta mayatnik — «Arg‘imchoq» va «Prujinali mayatnik» tajribalarida. Model: burchaklar kichik (≤ 10°), sterjenlar vaznsiz, prujina gorizontal qoladi.

Normal modalar va normal koordinatalar

Ikki erkinlik darajali tizimda ikki normal moda bor — hamma qismlar bitta chastota bilan tebranadigan harakatlar. Bir fazada prujina cho‘zilmaydi: $ω_{1} = \sqrt{g / l}$ . Qarama-qarshi fazada prujina ikkala yukni ham qaytaradi: $ω_{2} = \sqrt{g / l + 2 κ}$ , $κ = k d^{2} / (m l^{2})$ . Normal koordinatalar $q_{1} = (θ_{1} + θ_{2}) / 2$ , $q_{2} = (θ_{1} - θ_{2}) / 2$ bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan oddiy tebranishlar; har qanday harakat ularning yig‘indisi. $n$ erkinlik darajasida $n$ ta xususiy chastota $\det (𝐊 - ω^{2} 𝐌) = 0$ tenglamadan topiladi — molekulalar va kristallar ham shunday tebranadi.

Tepkilar: energiya qanday ko‘chadi

Faqat birinchi mayatnikni og‘dirsak, bu ikki modaning teng aralashmasi. Modalar chastotasi biroz farq qilgani uchun ular goh bir-birini kuchaytiradi, goh so‘ndiradi — tepkilar: energiya birinchi mayatnikdan ikkinchisiga to‘liq o‘tadi va $T_{t} = 2 π / (ω_{2} - ω_{1})$ davr bilan qaytib keladi. Bog‘lanish qancha kuchsiz bo‘lsa, almashinuv shuncha sekin. Musiqachilar ham sozni tepkilar bo‘yicha sozlaydi: 440 va 442 Hz li ikki tovush sekundiga 2 marta kuchayib-susayadi; tepkilar yo‘qolsa — chastotalar teng.

Vektor diagramma va Lissaju shakllari

Garmonik tebranishni $ω$ burchak tezlik bilan aylanayotgan vektorning (fazorning) proyeksiyasi deb qarash mumkin. Bir yo‘nalishdagi tebranishlarni qo‘shish — vektorlarni qo‘shish. O‘zgaruvchan tok zanjirida $U_{R}$ tok bilan bir fazada, $U_{L}$ tokdan 90° oldinda, $U_{C}$ esa 90° orqada; yig‘indi amplitudasi $U_{m} = I_{m} Z$ , $tg φ = (X_{L} - X_{C}) / R$ . Kompleks shaklda $Z = R + i (ω L - 1 / ω C)$ ; $X_{L} = X_{C}$ da — rezonans. O‘zaro perpendikulyar tebranishlar egri chiziq chizadi: chastotalar nisbati oddiy kasr bo‘lsa, shakl yopiq. Bu egri chiziqlarni N. Bowditch 1815-yilda, J. Lissaju 1857-yilda batafsil o‘rgangan.

Atomlar zanjiri: dispersiya, akustik va optik tarmoqlar

$N$ yacheykali yopiq zanjirda (Born–fon Karman sharti) to‘lqin soni faqat $q = 2 π j / (N a)$ qiymatlarni oladi — har bir tarmoqda $N$ ta moda. Uzun to‘lqinlarda $ω \approx v_{s} q$ , $v_{s} = a \sqrt{K / m}$ — kristalldagi tovush tezligi. $q = π / a$ da to‘lqin turg‘un, guruh tezligi $d ω / d q = 0$ . Ikki atomli zanjirda akustik tarmoqda yacheyka butunligicha siljiydi, optik tarmoqda qo‘shni atomlar qarama-qarshi tebranadi (ion kristallarida bu dipol hosil qilib, infraqizil nurni yutadi). $m_{1} \neq m_{2}$ bo‘lsa, tarmoqlar orasida chastotalarning taqiqlangan oralig‘i bor. Elektr analogiyasi: $L$ – $C$ zanjirchalari zanjiri ( $m \leftrightarrow L$ , $1 / K \leftrightarrow C$ ) past chastotali filtr bo‘lib, $ω > 2 / \sqrt{L C}$ ni o‘tkazmaydi. CO₂ molekulasi: chiziqli O–C–O modeli ikki cho‘zilish tebranishini beradi; model haqiqiy simmetrik chastotadan taxminan 12 % past — u ikki bog‘ orasidagi o‘zaro ta’sirni hisobga olmaydi.

Fononlar va holatlar zichligi

Kvant mexanikasida har bir normal moda energiyasi $E = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ — u faqat $ℏ ω$ porsiyalar bilan o‘zgaradi. Panjara tebranishining shu kvanti fonon deyiladi (nomini Ya. Frenkel taklif qilgan; yunoncha «phōnē» — tovush). Zanjirimizda $ℏ ω$ — o‘nlab meV, xona haroratidagi $k T \approx 26$ meV bilan solishtirsa bo‘ladi: shuning uchun fononlar issiqlik sig‘imi va issiqlik o‘tkazuvchanlikni belgilaydi. Holatlar zichligi $g (f)$ — chastota oralig‘iga to‘g‘ri keladigan modalar soni; dispersiya egri chizig‘i tekislangan joyda ( $d ω / d q = 0$ ) u keskin ortadi. Batafsil — «Qattiq jismlarda zonalar» va «Kvant statistikasi» tajribalarida.

Bilasizmi?

1665-yilda Kristian Gyuygens bitta to‘singa osilgan ikkita mayatnikli soatining mayatniklari qanday boshlanmasin, oxir-oqibat qarama-qarshi tebranishini payqagan va buni to‘sin orqali bo‘ladigan kuchsiz bog‘lanish bilan tushuntirgan. Bu sinxronizatsiyaning birinchi qayd etilgan kuzatuvlaridan biri.
CO₂ molekulasi infraqizil nurni egilish tebranishida (taxminan 15 mkm) va antisimmetrik cho‘zilishda (taxminan 4,26 mkm) yutadi. Simmetrik cho‘zilish molekulaning dipol momentini o‘zgartirmaydi, shuning uchun bu tebranish IQ nurni yutmaydi. Aynan shu yutilish CO₂ ni issiqxona gaziga aylantiradi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Arqon va prujinadagi to‘lqin — 10-sinf
Tovush: tezlik, balandlik, UZI — 10-sinf
Dutor tori va tovush — 11-sinf
To‘lqinlar va Dopler effekti — 11-sinf
Ko‘prik rezonansi — 11-sinf
Nochiziqli tebranishlar — 2-kurs
Fur’e: tovush spektri — 3-kurs