Физика · Колебания и волны · 11 класс

Связанные колебания

Почему два маятника, соединённые пружиной, колеблются по очереди?

Ситуация

В 1665 году голландский учёный Христиан Гюйгенс, наблюдая за двумя маятниковыми часами, подвешенными на одной балке, заметил странное явление: как бы ни начинали качаться маятники, в конце концов они начинали колебаться в противофазе. Если соединить два маятника лёгкой пружиной и толкнуть только один, вы увидите ещё более любопытное: первый постепенно останавливается, второй раскачивается — а потом всё повторяется в обратном порядке. Атомы в кристалле тоже связаны друг с другом такими «пружинками». Как переходит энергия от маятника к маятнику — и от атома к атому?

Тема

Связанные колебания и нормальные моды. Два маятника, связанные пружиной, и цепочка атомов — фононы

Ключевые понятия

Биения и нормальные моды
Дисперсия фононов
Фигуры Лиссажу

Формулы

ω_{1} = \sqrt{\frac{g}{l}}, ω_{2} = \sqrt{\frac{g}{l} + \frac{2 k d^{2}}{m l^{2}}}

Нормальные частоты связанных маятников: в фазе (пружина не растягивается) и в противофазе. Если пружина прикреплена к грузу ( $d = l$ ): $ω_{2} = \sqrt{g / l + 2 k / m}$ .

x = 2 A \cos \frac{(ω_{2} - ω_{1}) t}{2} \cos \frac{(ω_{2} + ω_{1}) t}{2}, T_{t} = \frac{2 π}{ω_{2} - ω_{1}}

Биения: сумма двух колебаний с близкими частотами. Амплитуда меняется с периодом $T_{t}$ ; в звуке число биений в секунду равно $| f_{2} - f_{1} |$ .

A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos (φ_{2} - φ_{1}), Z = \sqrt{R^{2} + {(ω L - \frac{1}{ω C})}^{2}}

Сложение колебаний одной частоты с помощью векторной диаграммы; в цепи RLC напряжения складываются точно так же.

x = A \cos ω_{x} t, z = B \cos (ω_{z} t + δ), \frac{ω_{z}}{ω_{x}} = \sqrt{\frac{l_{x}}{l_{y}}}

Взаимно перпендикулярные колебания — фигуры Лиссажу. В песочном маятнике с Y-образной подвеской отношение частот задают длины нитей.

ω = 2 \sqrt{\frac{K}{m}} | \sin \frac{q a}{2} |, ω_{\mp}^{2} = \frac{K}{μ} \mp K \sqrt{\frac{1}{μ^{2}} - \frac{4 \sin^{2} (q a / 2)}{m_{1} m_{2}}}

Закон дисперсии одноатомной и двухатомной цепочки: $q$ — волновое число, $a$ — постоянная решётки, $1 / μ = 1 / m_{1} + 1 / m_{2}$ ; «−» — акустическая, «+» — оптическая ветвь.

Теория

Гармонические колебания

Если при отклонении от равновесия возвращающая сила пропорциональна смещению, то движение гармоническое: $\ddot{x} + ω^{2} x = 0$ , решение $x = A \cos (ω t + φ)$ . У пружинного маятника $ω = \sqrt{k / m}$ , у математического $ω = \sqrt{g / l}$ , у физического $ω = \sqrt{m g a / I}$ ( $a$ — расстояние от точки подвеса до центра масс). Один маятник — в экспериментах «Качели» и «Пружинный маятник». Модель: углы малые (≤ 10°), стержни невесомые, пружина остаётся горизонтальной.

Нормальные моды и нормальные координаты

У системы с двумя степенями свободы две нормальные моды — движения, при которых все части колеблются с одной частотой. В фазе пружина не растягивается: $ω_{1} = \sqrt{g / l}$ . В противофазе пружина возвращает оба груза: $ω_{2} = \sqrt{g / l + 2 κ}$ , $κ = k d^{2} / (m l^{2})$ . Нормальные координаты $q_{1} = (θ_{1} + θ_{2}) / 2$ , $q_{2} = (θ_{1} - θ_{2}) / 2$ — независимые простые колебания; любое движение — их сумма. При $n$ степенях свободы $n$ собственных частот находятся из уравнения $\det (𝐊 - ω^{2} 𝐌) = 0$ — так колеблются и молекулы, и кристаллы.

Биения: как переходит энергия

Если отклонить только первый маятник, получится равная смесь этих двух мод. Поскольку частоты мод немного различаются, они то усиливают, то гасят друг друга — это биения: энергия полностью переходит от первого маятника ко второму и возвращается с периодом $T_{t} = 2 π / (ω_{2} - ω_{1})$ . Чем слабее связь, тем медленнее обмен. Музыканты тоже настраивают инструмент по биениям: два звука 440 и 442 Гц усиливаются и затихают 2 раза в секунду; когда биения исчезают — частоты равны.

Векторная диаграмма и фигуры Лиссажу

Гармоническое колебание можно рассматривать как проекцию вектора (фазора), вращающегося с угловой скоростью $ω$ . Сложение колебаний одного направления — сложение векторов. В цепи переменного тока $U_{R}$ совпадает по фазе с током, $U_{L}$ опережает ток на 90°, а $U_{C}$ отстаёт на 90°; амплитуда суммы $U_{m} = I_{m} Z$ , $tg φ = (X_{L} - X_{C}) / R$ . В комплексной форме $Z = R + i (ω L - 1 / ω C)$ ; при $X_{L} = X_{C}$ — резонанс. Взаимно перпендикулярные колебания рисуют кривую: если отношение частот — простая дробь, фигура замкнута. Эти кривые подробно изучали Н. Боудич в 1815 году и Ж. Лиссажу в 1857 году.

Цепочка атомов: дисперсия, акустическая и оптическая ветви

В замкнутой цепочке из $N$ ячеек (условие Борна–Кармана) волновое число принимает только значения $q = 2 π j / (N a)$ — в каждой ветви $N$ мод. Для длинных волн $ω \approx v_{s} q$ , $v_{s} = a \sqrt{K / m}$ — скорость звука в кристалле. При $q = π / a$ волна стоячая, групповая скорость $d ω / d q = 0$ . В двухатомной цепочке на акустической ветви ячейка смещается как целое, на оптической соседние атомы колеблются в противофазе (в ионных кристаллах это создаёт диполь и поглощает инфракрасное излучение). При $m_{1} \neq m_{2}$ между ветвями есть запрещённая зона частот. Электрическая аналогия: цепочка из звеньев $L$ – $C$ ( $m \leftrightarrow L$ , $1 / K \leftrightarrow C$ ) — фильтр низких частот, не пропускающий $ω > 2 / \sqrt{L C}$ . Молекула CO₂: линейная модель O–C–O даёт два валентных колебания; модель примерно на 12 % занижает реальную симметричную частоту — она не учитывает взаимодействия между двумя связями.

Фононы и плотность состояний

В квантовой механике энергия каждой нормальной моды $E = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ — она меняется только порциями $ℏ ω$ . Такой квант колебаний решётки называется фононом (название предложил Я. Френкель; греч. «phōnē» — звук). В нашей цепочке $ℏ ω$ — десятки мэВ, что сравнимо с $k T \approx 26$ мэВ при комнатной температуре: поэтому фононы определяют теплоёмкость и теплопроводность. Плотность состояний $g (f)$ — число мод на интервал частот; там, где кривая дисперсии выходит на плато ( $d ω / d q = 0$ ), она резко возрастает. Подробнее — в экспериментах «Зоны в твёрдых телах» и «Квантовая статистика».

Знаете ли вы?

В 1665 году Христиан Гюйгенс заметил, что маятники двух часов, подвешенных на одной балке, как бы ни начинали качаться, в конце концов колеблются в противофазе, и объяснил это слабой связью через балку. Это одно из первых зафиксированных наблюдений синхронизации.
Молекула CO₂ поглощает инфракрасное излучение при деформационном колебании (около 15 мкм) и при антисимметричном валентном (около 4,26 мкм). Симметричное валентное колебание не меняет дипольный момент молекулы, поэтому это колебание ИК-излучение не поглощает. Именно это поглощение делает CO₂ парниковым газом.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.