Физика · Колебания и волны · 11 класс

Резонанс моста

Почему солдаты при переходе через мост сбивают строевой шаг?

Ситуация

По лёгкому пешеходному мосту над городским каналом строем, в ногу идёт группа школьников. Шаг одного человека почти не ощутим, но через несколько секунд мост заметно начинает раскачиваться. Недаром солдатам приказывают сбивать строевой шаг при переходе через мост. Как маленькие, но вовремя поданные толчки порождают большие колебания и как инженеры их гасят?

Тема

Вынужденные колебания и резонанс. Резонанс моста: почему солдаты сбивают строевой шаг

Ключевые понятия

Вынужденные колебания
Резонанс
Динамический гаситель

Формулы

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = \frac{F_{0}}{M} \cos ω t

Уравнение вынужденных колебаний: первая изгибная мода моста — затухающий осциллятор.

f_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{M}}

Собственная частота: $k$ — модальная жёсткость, $M$ — модальная масса.

A = \frac{F_{0} / M}{\sqrt{{(ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 ζ ω_{0} ω)}^{2}}}

Амплитуда установившихся колебаний (амплитудно-частотная характеристика).

tg φ = \frac{2 ζ ω_{0} ω}{ω_{0}^{2} - ω^{2}}

Отставание смещения от силы по фазе: при резонансе $φ = 90 °$ . Средняя мощность внешней силы $⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} F_{0} ω A \sin φ$ в установившемся режиме равна потерям на затухание.

Q = \frac{1}{2 ζ} \approx \frac{f_{0}}{Δ f} = \frac{π}{δ}

Добротность: $Δ f$ — ширина кривой на уровне $A_{m a x} / \sqrt{2}$ , $δ = \ln (A_{k} / A_{k + 1})$ — логарифмический декремент.

Теория

Собственные и вынужденные колебания

Мост подобен огромной пружине: масса пролёта и жёсткость на изгиб определяют его собственную частоту. Каждый шаг немного продавливает мост — это периодическая сила. Сначала наблюдается переходный процесс: собственные и вынужденные колебания складываются и дают «биения». Когда затухание уничтожает собственную часть, мост колеблется с установившейся амплитудой на частоте шага. Постоянная внешняя сила — например, вес людей на мосту — колебаний не вызывает: она лишь смещает положение равновесия на $x_{0} = F / k$ , и колебания идут около этого нового положения равновесия (на панели — «постоянный прогиб»; $x (t)$ отсчитывается от него).

Работа внешней силы

За каждый период сила шагов совершает работу $\oint F d x$ , её средняя мощность $⟨ P ⟩ = ⟨ F v ⟩ = \frac{1}{2} F_{0} ω A \sin φ$ . В установившемся режиме она равна мощности, которая при затухании превращается в теплоту, $\frac{1}{2} c ω^{2} A^{2}$ , — именно этот баланс энергии определяет амплитуду. При резонансе сила совпадает по фазе со скоростью ( $φ = 90 °$ ) — работа наибольшая. При $f ≪ f_{0}$ или $f ≫ f_{0}$ сила сдвинута относительно скорости почти на 90°: полпериода она отдаёт энергию, полпериода забирает обратно, и средняя работа близка к нулю. В переходном процессе $⟨ F v ⟩$ больше потерь — избыток увеличивает энергию колебаний. Сравните две мощности на панели.

Резонанс

Если частота шагов равна собственной частоте, сила всё время направлена в ту же сторону, что и скорость моста (красная и синяя стрелки), и опережает смещение на 90°. В каждый период энергия добавляется, и её ограничивает только затухание: $A_{r e z} = Q F_{0} / k$ . У пешеходных мостов затухание мало (примерно $ζ \approx 0,3$ – $1,5$ %), поэтому колебания в десятки раз превышают статический прогиб. При шаге в ногу силы складываются ( $\propto N$ ), при беспорядочной ходьбе частично гасят друг друга (примерно $\sqrt{N}$ ).

Динамический гаситель (TMD)

К мосту добавляют небольшую массу $m_{d}$ на пружине и настраивают её частоту на собственную частоту моста. При резонансе масса гасителя колеблется в противофазе с силой шагов (и примерно на 90° позади моста), причём с амплитудой в несколько раз больше, чем у моста: она принимает на себя силу шагов и превращает энергию в теплоту в своём гасителе. Правило Ден-Гартога: $f_{d} = f_{0} / (1 + μ)$ , $μ = m_{d} / M$ ; в модели внутреннее затухание гасителя тоже подбирается по этому правилу. Неправильно настроенный TMD почти не помогает.

Границы модели

Учитывается только одна вертикальная изгибная мода. Сила пешехода — первая гармоника на частоте шагов: $F \approx 0,4 G \approx 280$ Н (человек массой 70 кг). Масса людей и подстройка их шагов под колебания (как при боковой качке Моста тысячелетия) не учитываются. Мост Такома-Нэрроуз, обрушившийся в 1940 году, разрушился не от обычного резонанса, а от аэроупругого флаттера с ветром — самовозбуждающихся колебаний.

Знаете ли вы?

Лондонский пешеходный Мост тысячелетия в день открытия в июне 2000 года начал раскачиваться из стороны в сторону под ногами пешеходов и через два дня был закрыт. После установки гасителей (демпферов) в 2002 году его открыли снова.
В верхних этажах небоскрёба Тайбэй 101 в Тайбэе подвешен стальной шар массой около 660 тонн — этот огромный динамический гаситель уменьшает колебания от ветра и землетрясений.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.