Физика · Колебания и волны · 2 курс

Нелинейные колебания

Как ребёнок раскачивает качели, не толкая их, и как маятник стоит вверх ногами?

Ситуация

На школьном дворе ваш младший брат стоит на качелях. Его никто не толкает, но он, приседая и вставая при каждом колебании, раскачивает качели всё выше. При большом угле качели колеблются медленнее — школьная формула $T = 2 π \sqrt{l / g}$ уже не верна. А в кабинете физики учитель ставит перевёрнутый маятник с дрожащей опорой — и он не падает! Что происходит, если колебание нелинейно или его параметр периодически меняется?

Тема

Нелинейные колебания, параметрический резонанс. Раскачивание качелей приседаниями и маятник Капицы

Ключевые понятия

Ангармонический маятник
Параметрический резонанс
Маятник Капицы

Формулы

T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K (\sin \frac{θ_{0}}{2}) \approx T_{0} (1 + \frac{θ_{0}^{2}}{16} + \frac{11 θ_{0}^{4}}{3072})

Период маятника при большой амплитуде: точный (эллиптический интеграл $K$ ) и ряд последовательных приближений.

\ddot{x} + 2 γ \dot{x} + ω_{0}^{2} x + β x^{3} = f \cos Ω t

Уравнение Дуффинга — ангармонический осциллятор. При амплитуде $A$ частота $ω \approx ω_{0} + \frac{3 β A^{2}}{8 ω_{0}}$ .

\ddot{θ} + ω_{0}^{2} [1 + h \cos Ω t] θ = 0, | Ω - 2 ω_{0} | < \frac{1}{2} h ω_{0}

Параметрический резонанс: если параметр меняется с частотой $Ω \approx 2 ω_{0} / n$ , колебания нарастают. Первая зона — $Ω \approx 2 ω_{0}$ .

U_{e f} (θ) = - m g l \cos θ + \frac{m A^{2} Ω^{2}}{4} \sin^{2} θ \Rightarrow A^{2} Ω^{2} > 2 g l

Маятник Капицы: быстрая вибрация создаёт эффективный потенциал; перевёрнутое положение при этом условии устойчиво.

y^{''} + (a - 2 q \cos 2 τ) y = 0, a = \frac{4 ω_{0}^{2}}{Ω^{2}}, q = \frac{2 A}{l}

Уравнение Матьё: маятник, опора которого колеблется по закону $A \cos Ω t$ ( $τ = Ω t / 2$ ; для перевёрнутого положения $a < 0$ ).

Теория

Почему при большом угле период увеличивается?

Возвращающая сила $m g \sin θ$ меньше, чем $m g θ$ : при большом отклонении маятник «мягче» и возвращается медленнее. Точный период выражается через эллиптический интеграл: при $θ_{0} = 90 °$ период $T$ на 18 % больше, чем при малых колебаниях, а при $θ_{0} \to 180 °$ стремится к бесконечности — верхняя точка является неустойчивым равновесием. Открытая Галилеем изохронность верна лишь для малых амплитуд. На фазовом портрете ( $θ$ , $ω$ ) замкнутые кривые — колебания, а сепаратриса — граница между колебаниями и вращением.

Способ расчёта нелинейных колебаний

Общий способ — последовательные приближения (Линдштедта–Пуанкаре): решение и частоту разлагают в ряд по амплитуде, в каждом порядке «резонансные» члены устраняют. Результат: частота зависит от амплитуды, $ω = ω_{0} (1 - θ_{0}^{2} / 16 + \dots)$ , в колебании появляются гармоники $3 ω$ , $5 ω$ . На графике сравниваются ряд и точная кривая: ряд хорош до 90°, после 150° даёт резкую ошибку. У затухающего маятника (включите трение) по мере уменьшения амплитуды измеренный период приближается к $T_{0}$ .

Ангармонический осциллятор и скачок

Когда груз между двумя натянутыми пружинами смещается поперёк, возвращающая сила имеет вид $- ω_{0}^{2} x - β x^{3}$ — это осциллятор Дуффинга (жёсткая пружина). Резонансная кривая наклоняется вправо: на одной частоте три решения, среднее неустойчиво. Если медленно повышать частоту, амплитуда растёт по верхней ветви, а затем резко падает скачком вниз; если понижать — на другой частоте скачком растёт вверх — гистерезис по частоте.

Параметрический резонанс: раскачивание качелей приседаниями

Ребёнок не толкает качели — он меняет параметр системы, расстояние $l$ от точки подвеса до центра тяжести. Если он встаёт в нижней точке (центробежная сила наибольшая), а приседает в крайних, в каждом цикле добавляется энергия; это происходит дважды за период, то есть $Ω = 2 ω_{0}$ . Если приседать по метроному (независимо от фазы), колебания растут экспоненциально лишь тогда, когда $Ω$ попадает в зону неустойчивости; когда амплитуда велика, частота уменьшается, и система выходит из резонанса. Неподвижные качели параметрически не раскачать — нужно небольшое начальное колебание. Для модуляции длины эффективная глубина $h_{e f} \approx 3 h$ .

Маятник Капицы

Если опора быстро вибрирует ( $Ω ≫ ω_{0}$ ), для медленного движения маятника появляется дополнительный эффективный потенциал $\frac{1}{4} m A^{2} Ω^{2} \sin^{2} θ$ : он минимален при $θ = 0$ и $θ = π$ . Если $A^{2} Ω^{2} > 2 g l$ , перевёрнутое положение устойчиво — маятник медленно колеблется наверху. Эта идея устойчивости в быстро меняющемся поле работает и в ловушке Пауля, удерживающей ионы.

Уравнение Матьё и карта устойчивости

Малые колебания маятника с вибрирующей опорой описываются уравнением Матьё. Вычислив решение за один период (теория Флоке), находим области, где множитель роста $| λ | > 1$ , — это красные «языки» на карте. Они начинаются с $Ω = 2 ω_{0} / n$ , трение поднимает их вверх (требуется минимальная глубина). Обе карты в эксперименте рассчитаны именно так; смещая точку, сравнивайте теорию и движение.

Знаете ли вы?

Огромная кадильница в соборе Сантьяго-де-Компостела (Испания) — Ботафумейро — раскачивается тем, что группа людей ритмично тянет и отпускает канат. Это пример параметрического резонанса, применяемого веками.
Перевёрнутый маятник с вибрирующей опорой описал в 1908 году А. Стефенсон, а теорию дал в 1951 году П. Л. Капица. За ионную ловушку, работающую на близком принципе, В. Пауль получил Нобелевскую премию в 1989 году.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.