Физика · Колебания и волны · 10 класс

Волна на верёвке и пружине

Если встряхнуть верёвку, что бежит по ней — вещество или энергия?

Ситуация

В спортзале тренер привязал один конец длинной верёвки к железному столбу, а второй резко дёрнул: по верёвке побежал горб, дошёл до столба и вернулся перевёрнутым. А когда он стал раскачивать верёвку в ровном ритме, она словно разделилась на застывшие на месте «брюшки». Рядом подвешена пружина — в ней витки сгущаются и разрежаются не поперёк, а вдоль её оси. Сама верёвка никуда не уходит — что же в ней на самом деле бежит?

Тема

Механические волны. Слинки и верёвка: поперечные и продольные волны, отражение

Ключевые понятия

Поперечная и продольная волны
Стоячая волна
Принцип Гюйгенса

Формулы

v = \sqrt{\frac{T}{μ}}, λ = v T_{0} = \frac{v}{f}

Скорость поперечной волны в верёвке ( $T$ — натяжение, $μ$ — масса 1 м) и длина волны. Продольная волна в пружине: $v = L \sqrt{k / m}$ .

y (x, t) = A \sin (ω t - k x), \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}

Уравнение плоской бегущей волны ( $k = 2 π / λ$ , $ω = 2 π f$ ) и волновое уравнение.

w = \frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2}, P = w v = \frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2} v

Линейная плотность энергии волны и поток энергии (вектор Умова $\vec{S} = w \vec{v}$ ).

f_{n} = n \frac{v}{2 L} (закреп.), f_{n} = (2 n - 1) \frac{v}{4 L} (своб.)

Частоты стоячей волны: расстояние между соседними узлами $λ / 2$ .

v_{f} = \frac{ω}{k}, v_{g} = \frac{d ω}{d k} \approx \frac{Δ ω}{Δ k}

Фазовая и групповая скорости; на глубокой воде $ω^{2} = g k$ , поэтому $v_{g} = v_{f} / 2$ . Минимум дифракции: $\sin θ = λ / d$ .

Теория

Что распространяется в среде?

В упругой среде каждая частица притягивает или отталкивает соседку, поэтому колебание в одном месте передаётся соседним частицам. Частицы колеблются на месте, а далеко уходят энергия и состояние колебания (фаза). Включите «Следить за частицами»: след меток на верёвке — вертикальный отрезок (поперечная волна), а на пружине — отрезок вдоль оси (продольная волна — сгущение и разрежение). Поперечная волна распространяется только там, где есть сопротивление сдвигу (твёрдое тело, струна, поверхность воды); продольная — и в газе, и в жидкости, и в твёрдом теле.

Скорость, длина волны, волновое уравнение

Скорость определяет среда: если верёвку натянуть или облегчить, $v = \sqrt{T / μ}$ изменится. А частоту определяет источник. За период волна смещается на $λ = v T_{0}$ , поэтому если $f$ не меняется, а $T$ растёт, $λ$ удлиняется — проверьте линейкой. Уравнение бегущей волны $y = A \sin (ω t - k x)$ — решение волнового уравнения $\partial^{2} y / \partial t^{2} = v^{2} \partial^{2} y / \partial x^{2}$ ; электромагнитные волны подчиняются тому же уравнению, только $v = c = 1 / \sqrt{ε_{0} μ_{0}}$ . Поверхность точек с одинаковой фазой — волновая поверхность (фронт): в ванне у плоской волны это прямая, у точечного источника — окружность. Амплитуда сферической волны в пространстве убывает как $1 / r$ , у круговой волны на поверхности воды — как $1 / \sqrt{r}$ : энергия распределяется по растущему фронту.

Энергия и интенсивность волны

Каждый метр верёвки обладает энергией колебаний: $w = \frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2}$ . Эта энергия течёт вместе с волной со скоростью $v$ , поток $P = w v$ — это вид вектора Умова $\vec{S} = w \vec{v}$ на верёвке (жёлтая стрелка). При увеличении амплитуды вдвое поток энергии возрастает в 4 раза, и при увеличении частоты вдвое — тоже в 4 раза. В пространстве интенсивность $I = P / S$ — энергия, проходящая через единицу площади за 1 с, Вт/м².

Отражение, суперпозиция и стоячая волна

Закреплённый конец не может двигаться: чтобы сумма пришедшей и отражённой волн всегда была равна нулю, импульс возвращается перевёрнутым. Свободный конец (лёгкое кольцо на столбе) поднимается вдвое выше, и импульс возвращается неперевёрнутым. Когда две волны встречаются, смещения просто складываются (суперпозиция). Падающая и отражённая непрерывные волны, складываясь, образуют стоячую волну: узлы вообще не движутся, пучности колеблются сильнее всего, расстояние между соседними узлами $λ / 2$ . Конец вибратора тоже почти узел, поэтому резонанс наступает при $f_{n} = n v / (2 L)$ . В модели в верёвке есть небольшое затухание ( $α = 0,03$ 1/м) — иначе амплитуда в резонансе росла бы бесконечно.

Принцип Гюйгенса и дифракция

Принцип Гюйгенса: каждая точка фронта — источник вторичных волн, их огибающая (общая касательная) — фронт в следующий момент. Включите в ванне «Волны Гюйгенса»: на стенке огибающая вторичных волн даёт отражённый фронт, и получается, что угол падения равен углу отражения. Волну, прошедшую через щель, вода в модели рассчитывает именно так — суммой 8–64 вторичных источников в щели. Если щель намного шире длины волны, волна проходит почти прямо; при $d ≲ λ$ она расходится полукругом (дифракция). Направление первого минимума: $d \sin θ_{1} = λ$ . Дифракция света — в эксперименте «Интерференция и дифракция».

Биения, фазовая и групповая скорости

Если сложить две волны близких частот, амплитуда результирующей волны медленно меняется — биения; в одной точке частота биений $| f_{1} - f_{2} |$ . «Группа» волн (огибающая) движется с групповой скоростью $v_{g} = Δ ω / Δ k$ , а гребни — с фазовой скоростью $v_{f} = ω / k$ . Энергия переносится с групповой скоростью. Для волн на воде $ω^{2} = g k th (k h)$ : на мелководье ( $k h ≪ 1$ ) дисперсии нет, $v_{f} = v_{g} = \sqrt{g h}$ ; на глубокой воде $v_{g} = v_{f} / 2$ — гребни возникают позади группы и исчезают впереди. В канале высота волны показана увеличенной в 3 раза (на очень мелкой воде — меньше).

Знаете ли вы?

При землетрясении продольные P-волны распространяются быстрее поперечных S-волн, поэтому сейсмограф сначала записывает P-волну. S-волны не проходят через жидкость — так и выяснили, что внешнее ядро Земли жидкое.
Длина волны цунами намного больше глубины океана, поэтому оно идёт как волна на «мелкой воде» со скоростью $v = \sqrt{g h}$ : при глубине 4 км это примерно 200 м/с, то есть около 700 км/ч.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.