Физика · Колебания и волны · 10 класс

Качели

Когда нужно толкать качели, чтобы они взлетели выше?

Ситуация

На детской площадке вы раскачиваете младшего брата на качелях. С каждым толчком он взлетает выше — но только если толкать вовремя. Если толкнуть не в тот момент, качели, наоборот, замедляются. У качелей есть свой «ритм». От чего он зависит: от длины цепи, от веса ребёнка или от того, как высоко он взлетает?

Тема

Механические колебания, маятник. Качели на детской площадке

Ключевые понятия

Математический маятник
Закон сохранения энергии
Резонанс

Формулы

\ddot{θ} + \frac{g}{L} θ = 0, T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}

Уравнение и период гармонических колебаний при малых отклонениях — массы в формуле нет!

T \approx T_{0} (1 + \frac{θ_{0}^{2}}{16})

При большой амплитуде период немного увеличивается ( $θ_{0}$ в радианах).

E = \frac{m v^{2}}{2} + m g L (1 - \cos θ) = const

Без сопротивления кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга.

F_{t} = m g \cos θ + \frac{m v^{2}}{L}

Сила натяжения цепи: в нижней точке вы чувствуете себя тяжелее.

A_{i t} = \int F v d t > 0 ⟺ F ↑ ↑ v

Толчок добавляет энергию, только если сила направлена по скорости.

Теория

Как возникают колебания?

Механические колебания — движение, повторяющееся около положения равновесия. Для них нужны два условия: при выходе тела из равновесия должна возникать возвращающая сила и тело должно обладать инерцией (оно проскакивает положение равновесия); трение при этом должно быть малым. Качели — почти математический маятник: тяжёлый груз подвешен на длинной нити, возвращающая сила — касательная составляющая силы тяжести $m g \sin θ$ . При малых углах $\sin θ \approx θ$ , и движение становится гармоническим. Виды колебаний: качели, один раз толкнутые, совершают свободные (собственные) колебания, при сопротивлении — затухающие, при периодических толчках — вынужденные; маятник часов получает толчок от своего источника вовремя — это автоколебания. Груз на пружине — в эксперименте «Пружинный маятник», сложение колебаний — «Связанные колебания»; если колебание распространяется в среде, возникает волна — «Волна на верёвке и пружине».

Гармонические колебания: период, частота, фаза

При малых отклонениях $θ = θ_{0} \cos (ω_{0} t + φ_{0})$ — решение уравнения $\ddot{θ} = - ω_{0}^{2} θ$ . $θ_{0}$ — амплитуда, $T$ — период (время одного полного колебания), $ν = 1 / T$ — частота (Гц), $ω_{0} = 2 π ν = \sqrt{g / L}$ — циклическая частота, $ω_{0} t + φ_{0}$ — фаза (она показывает, в какой стадии колебание; при отпускании из крайнего положения $φ_{0} = 0$ ). Смещение по дуге $s = L θ$ , скорость $v = - s_{0} ω_{0} \sin (ω_{0} t)$ , ускорение $a = - s_{0} ω_{0}^{2} \cos (ω_{0} t) = - ω_{0}^{2} s$ : скорость опережает смещение на четверть периода ( $90 °$ ), а ускорение противоположно смещению ( $180 °$ ). Сравните три кривые на графике: в крайней точке $v = 0$ , $| a |$ наибольшее; внизу $v$ наибольшая, $a_{t} = 0$ .

Система с одной степенью свободы и физический маятник

В любой системе, описываемой одной координатой $q$ , вблизи минимума потенциальной энергии $U \approx U_{0} + \frac{1}{2} k q^{2}$ , кинетическая энергия $\frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2}$ , значит $\ddot{q} + ω^{2} q = 0$ , $ω^{2} = k / m$ — свободные колебания системы с одной степенью свободы всегда гармонические (при малой амплитуде). У маятника $q = θ$ , $U = m g L (1 - \cos θ)$ : $k = m g L$ , «масса» $m L^{2}$ , $ω^{2} = g / L$ . Если тело не точка — это физический маятник: $T = 2 π \sqrt{I / (m g d)}$ , где $I$ — момент инерции относительно оси подвеса, $d$ — расстояние от оси до центра масс. Ребёнок на настоящих качелях, по сути, тоже физический маятник; лабораторный физический (оборотный) маятник — в лабораторном режиме эксперимента «Пружинный маятник».

Почему масса не влияет?

Сила, тянущая более тяжёлого ребёнка, тоже больше, но и разогнать его труднее — оба пропорциональны массе и сокращаются. Поэтому взрослый и ребёнок на одной цепи качаются с одинаковым периодом. Период зависит только от $L$ и $g$ — значит, маятником можно **измерить $g$ ** (лабораторная работа): измерьте период при нескольких длинах и нажимайте «Записать измерение»; график $T^{2}$ от $L$ — прямая с наклоном $4 π^{2} / g$ . Амплитуда не должна превышать 10°: при большой амплитуде период увеличивается и $g$ получается меньше.

Резонанс

Каждый толчок добавляет немного энергии. Если толчки идут в ритме собственного периода качелей, энергия накапливается — это резонанс. Если ритм сбит, некоторые толчки направлены против движения и отнимают энергию.

Куда уходит энергия?

Сопротивление воздуха и трение в звеньях цепи при каждом колебании превращают часть энергии в теплоту. Поэтому качели, которые не толкают, постепенно останавливаются.

Знаете ли вы?

По преданию, юный Галилей измерил по собственному пульсу колебания люстры в Пизанском соборе и заметил, что период почти не зависит от амплитуды.
В 1851 году Леон Фуко в парижском Пантеоне с помощью маятника массой 28 кг на проволоке длиной 67 м показал вращение Земли.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.