Fizika · Tebranish va to‘lqinlar · 11-sinf

Ko‘prik rezonansi

Nega askarlar ko‘prikdan o‘tayotganda saf qadamini buzadi?

Vaziyat

Shahar kanali ustidagi yengil piyodalar ko‘prigidan bir guruh o‘quvchilar saf tortib, bir xil qadam bilan o‘tmoqda. Bitta odamning qadami deyarli sezilmaydi, ammo bir necha soniyadan keyin ko‘prik sezilarli tebrana boshlaydi. Askarlarga ko‘prikdan o‘tayotganda saf qadamini buzish buyurilishi bejiz emas. Kichkina, lekin o‘z vaqtida berilgan turtkilar qanday qilib katta tebranish hosil qiladi va muhandislar uni qanday so‘ndiradi?

Mavzu

Majburiy tebranishlar va rezonans. Ko‘prik rezonansi: askarlar nega saf qadamini to‘xtatadi

Asosiy tushunchalar

Majburiy tebranishlar
Rezonans
Dinamik so‘ndirgich

Formulalar

\ddot{x} + 2 ζ ω_{0} \dot{x} + ω_{0}^{2} x = \frac{F_{0}}{M} \cos ω t

Majburiy tebranishlar tenglamasi: ko‘prikning birinchi egilish modasi — so‘nuvchi ossillyator.

f_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{M}}

Xususiy chastota: $k$ — modal bikrlik, $M$ — modal massa.

A = \frac{F_{0} / M}{\sqrt{{(ω_{0}^{2} - ω^{2})}^{2} + {(2 ζ ω_{0} ω)}^{2}}}

Barqaror tebranish amplitudasi (amplituda–chastota xarakteristikasi).

tg φ = \frac{2 ζ ω_{0} ω}{ω_{0}^{2} - ω^{2}}

Siljishning kuchdan faza bo‘yicha kechikishi: rezonansda $φ = 90 °$ . Tashqi kuchning o‘rtacha quvvati $⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} F_{0} ω A \sin φ$ barqaror holatda so‘nishdagi yo‘qotishga teng.

Q = \frac{1}{2 ζ} \approx \frac{f_{0}}{Δ f} = \frac{π}{δ}

Asllik: $Δ f$ — egri chiziqning $A_{m a x} / \sqrt{2}$ sathidagi kengligi, $δ = \ln (A_{k} / A_{k + 1})$ — logarifmik dekrement.

Nazariya

Xususiy va majburiy tebranish

Ko‘prik — ulkan prujinaga o‘xshaydi: oraliq massasi va egilish bikrligi uning xususiy chastotasini belgilaydi. Har bir qadam ko‘prikni biroz bosadi — bu davriy kuch. Avval o‘tish jarayoni kuzatiladi: xususiy va majburiy tebranishlar qo‘shilib, «tepkilar» hosil qiladi. So‘nish xususiy qismini yo‘qotgach, ko‘prik qadam chastotasida barqaror tebranadi. O‘zgarmas tashqi kuch esa — masalan, ko‘prikdagi odamlarning og‘irligi — tebranish uyg‘otmaydi: u faqat muvozanat holatini $x_{0} = F / k$ ga siljitadi va tebranish shu yangi muvozanat atrofida bo‘ladi (paneldagi «doimiy egilish»; $x (t)$ undan hisoblanadi).

Tashqi kuch bajargan ish

Qadam kuchi har davrda $\oint F d x$ ish bajaradi, o‘rtacha quvvati $⟨ P ⟩ = ⟨ F v ⟩ = \frac{1}{2} F_{0} ω A \sin φ$ . Barqaror holatda u so‘nishda issiqlikka aylanadigan quvvat $\frac{1}{2} c ω^{2} A^{2}$ ga teng — aynan shu energiya balansi amplitudani belgilaydi. Rezonansda kuch tezlik bilan bir fazada ( $φ = 90 °$ ) — ish eng katta. $f ≪ f_{0}$ yoki $f ≫ f_{0}$ da kuch tezlikdan deyarli 90° farq qiladi: yarim davr energiya beradi, yarim davr qaytarib oladi, o‘rtacha ish nolga yaqin. O‘tish jarayonida $⟨ F v ⟩$ yo‘qotishdan katta — ortiqchasi tebranish energiyasini oshiradi. Paneldagi ikki quvvatni solishtiring.

Rezonans

Qadam chastotasi xususiy chastotaga teng bo‘lsa, kuch har doim ko‘prik tezligi bilan bir yo‘nalishda bo‘ladi (qizil va ko‘k strelkalar), siljishdan esa 90° oldinda. Har davrda energiya qo‘shiladi va faqat so‘nish uni cheklaydi: $A_{r e z} = Q F_{0} / k$ . Piyoda ko‘priklarida so‘nish kichik (taxminan $ζ \approx 0,3$ – $1,5$ %), shuning uchun tebranish statik egilishdan o‘nlab marta katta bo‘ladi. Saf qadamida kuchlar qo‘shiladi ( $\propto N$ ), tartibsiz yurganda qisman so‘nadi (taxminan $\sqrt{N}$ ).

Dinamik so‘ndirgich (TMD)

Ko‘prikka prujinaga osilgan kichik massa $m_{d}$ qo‘shiladi va uning chastotasi ko‘prikning xususiy chastotasiga sozlanadi. Rezonansda so‘ndirgich massasi qadam kuchiga qarama-qarshi fazada (ko‘prikdan esa taxminan 90° orqada) va ko‘prikdan bir necha marta katta amplitudada tebranadi: u qadam kuchini o‘ziga oladi va energiyani o‘z so‘ndirgichida issiqlikka aylantiradi. Den-Gartog qoidasi: $f_{d} = f_{0} / (1 + μ)$ , $μ = m_{d} / M$ ; modelda so‘ndirgichning ichki so‘nishi ham shu qoida bo‘yicha tanlanadi. Noto‘g‘ri sozlangan TMD deyarli yordam bermaydi.

Model chegaralari

Faqat bitta vertikal egilish modasi hisobga olinadi. Piyoda kuchi — qadam chastotasidagi birinchi garmonika: $F \approx 0,4 G \approx 280$ N (70 kg odam). Odamlar massasi va ularning tebranishga moslashib qadam tashlashi (Mingyillik ko‘prigidagi yon tebranish kabi) hisobga olinmagan. 1940-yilda qulagan Tacoma Narrows ko‘prigi oddiy rezonansdan emas, shamol bilan aeroelastik flatter — o‘z-o‘zidan kuchayuvchi tebranishdan buzilgan.

Bilasizmi?

Londondagi Mingyillik piyodalar ko‘prigi 2000-yil iyunda ochilgan kuniyoq piyodalar ostida yon tomonga chayqala boshladi va ikki kundan keyin yopildi. 2002-yilda so‘ndirgichlar (dempferlar) o‘rnatilgach, qayta ochildi.
Taypeydagi Taipei 101 osmono‘par binosining yuqori qavatlarida taxminan 660 tonnalik po‘lat shar osilgan — bu ulkan dinamik so‘ndirgich shamol va zilzila tebranishlarini kamaytiradi.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Prujinali mayatnik — 10-sinf
Arqon va prujinadagi to‘lqin — 10-sinf
Tovush: tezlik, balandlik, UZI — 10-sinf
Dutor tori va tovush — 11-sinf
To‘lqinlar va Dopler effekti — 11-sinf
Bog‘langan tebranishlar — 11-sinf
Nochiziqli tebranishlar — 2-kurs
Fur’e: tovush spektri — 3-kurs