Fizika · Tebranish va to‘lqinlar · 3-kurs

Fur’e: tovush spektri

Spektr analizatori nay va doirani qanday qilib bir qarashda ajratadi?

Vaziyat

Musiqa xonasida nay, doira va dutor chalinmoqda. Mikrofon tovushni ossillografga uzatadi: nay ekranda deyarli silliq sinusoida chizadi, dutor — murakkab, ammo takrorlanuvchi egri chiziq, doirada esa takrorlanish umuman ko‘rinmaydi. Har qanday davriy tovushni oddiy sinusoidalar yig‘indisiga yoyish mumkinmi? Spektr analizatori qanday qilib bir qarashda cholg‘uni «taniydi»?

Mavzu

Fur’e tahlili. Ovoz spektri: doira va nay tovushini ajratish

Asosiy tushunchalar

Fur’e qatori
Spektr va FFT
Gibbs hodisasi

Formulalar

s (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin (2 π n f_{0} t)

Fur’e qatori (toq signal uchun): davriy signal — $f_{0}$ ga karrali chastotali sinusoidalar yig‘indisi.

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) \sin (2 π n f_{0} t) d t

$n$ -garmonika amplitudasi. $T = 1 / f_{0}$ — davr.

s_{k v} (t) = \frac{4}{π} \sum_{n toq} \frac{\sin (2 π n f_{0} t)}{n}

Kvadrat to‘lqin: faqat toq garmonikalar, amplitudasi $1 / n$ kabi kamayadi.

X_{k} = \sum_{m = 0}^{N - 1} x_{m} e^{- 2 π i k m / N}

Diskret Fur’e almashtirishi. FFT uni $N \log_{2} N$ amalda hisoblaydi ( $N = 4096$ , $Δ f = f_{s} / N \approx 3,9$ Hz).

f_{m n} = \frac{j_{m n}}{2 π R} \sqrt{\frac{T}{σ}}

Doiraviy membrana modalari: $j_{m n}$ — Bessel funksiyasi nollari ( $2,405; 3,832; 5,136; 5,520$ ), $T$ — taranglik, $σ$ — sirt zichligi.

Nazariya

Garmonikalar yig‘indisi

Har qanday davriy signalni (davri $T = 1 / f_{0}$ ) chastotalari $f_{0}, 2 f_{0}, 3 f_{0}, \dots$ bo‘lgan sinusoidalar yig‘indisiga yoyish mumkin — bu Fur’e qatori. Har bir sinusoida — aylanayotgan vektor (fazor): uzunligi — amplituda, aylanish tezligi — chastota. Doskadagi fazorlar zanjiri uchining balandligi aynan signalni chizadi (ekranda 1000 marta sekinlashtirilgan).

Spektr va FFT

Spektr qaysi chastotada qancha amplituda borligini ko‘rsatadi. Analizator signalning $N = 4096$ ta nuqtasini oladi ( $f_{s} = 16$ kHz da 0,256 s), uni Hann oynasi bilan silliqlaydi va tez Fur’e almashtirishi (FFT) bilan hisoblaydi. Chastota ajratish qobiliyati $Δ f = f_{s} / N \approx 3,9$ Hz: bundan yaqin cho‘qqilar qo‘shilib ketadi.

Gibbs hodisasi

Uzilishli signalni (kvadrat, arra) cheklangan sondagi garmonikalar bilan qursak, sakrash yonida «shox» paydo bo‘ladi. Garmonikalar ko‘paygan sari u torayadi va sakrashga yaqinlashadi, lekin balandligi sakrashning taxminan 9 % ida qolaveradi. O‘rtacha kvadratik xato esa nolga intiladi — qator signalga «energiya bo‘yicha» yaqinlashadi.

Cholg‘u tembri

Nay tovushi deyarli sinusoida: kuchli asosiy ton va bir nechta zaif garmonika. Tor garmonikalari butun karrali, ammo chertish joyiga bog‘liq (dutor $x_{0} = L / 5$ da chertilgan: 5-, 10-garmonikalar yo‘q). Doira membranasi modalari Bessel funksiyasi nollari bilan aniqlanadi: chastotalar nisbati 1 : 1,593 : 2,136 : 2,295 — butun son emas, shuning uchun to‘lqin shakli takrorlanmaydi. Model soddalashtirilgan: ideal membrana (havo ta’siri va halqachalar jarangi hisobga olinmagan), cholg‘u spektrlari taxminiy.

Fur’e integrali va delta-funksiya

Davr $T$ ni cheksiz uzaytirsak, garmonikalar orasidagi masofa $f_{0} = 1 / T$ nolga intiladi va qator Fur’e integraliga aylanadi: $S (f) = \int_{- \infty}^{\infty} s (t) e^{- 2 π i f t} d t$ , $s (t) = \int_{- \infty}^{\infty} S (f) e^{2 π i f t} d f$ . Davriy bo‘lmagan signalning (bitta zarba, so‘nayotgan doira) spektri endi alohida chiziqlar emas, uzluksiz egri chiziq. Signal qancha qisqa bo‘lsa, spektri shuncha keng: $Δ t Δ f \sim 1$ . Analizator ham signalning faqat 0,256 s lik bo‘lagini oladi, shuning uchun har bir garmonika kengligi bir necha hertsli cho‘qqi bo‘lib chiqadi ( $1 / 0,256 s \approx 4$ Hz). Ikki chegaraviy hol: cheksiz uzun sinusoidaning spektri — $f_{0}$ dagi cheksiz ingichka, yuzasi chekli cho‘qqi, Dirak delta-funksiyasi $δ (f - f_{0})$ ( $δ = 0$ , agar $f \neq f_{0}$ ; $\int δ d f = 1$ ); cheksiz qisqa «chertish» $δ (t)$ ning spektri esa barcha chastotalarda bir xil. Vektor algebra, Gauss va Stoks teoremalari, egri chiziqli koordinatalar va maydonlardagi delta-funksiya — «Vektor maydonlar: div va rot» tajribasida.

Bilasizmi?

Jozef Fur’e 1822-yilda «Issiqlikning analitik nazariyasi» kitobini nashr etdi: unda funksiyani sinus va kosinuslar qatoriga yoyish g‘oyasi issiqlik tarqalishini hisoblash uchun ishlatilgan.
Tez Fur’e almashtirishi (FFT) algoritmini 1965-yilda J. Kuli va J. Tyuki nashr etgan. Shunga o‘xshash usulni K. F. Gauss taxminan 1805-yilda qo‘llagan, ammo u faqat vafotidan keyin bosilgan.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.