Физика · Механика · 2 курс

Гамильтонова механика

Как уместить всё будущее качелей на одной карте?

Ситуация

На детской площадке раскачиваются качели. В каждый момент их состояние полностью определяют два числа: угол отклонения $θ$ и импульс $p$ . Если считать эти два числа точкой на карте, то всё будущее качелей превратится в одну линию на карте. Рядом с качелями стоит большая доска, на которой нарисована именно эта карта: колебания, полные обороты и граница между ними. Почему «жидкость» на этой карте никогда не сжимается — и какие величины остаются неизменными?

Тема

Гамильтонова механика и фазовое пространство. Фазовый портрет маятника: законы сохранения из симметрии

Ключевые понятия

Фазовое пространство и уравнения Гамильтона
Теорема Лиувилля
Симметрия и законы сохранения

Формулы

H (θ, p) = \frac{p^{2}}{2 m l^{2}} + m g l (1 - \cos θ)

Функция Гамильтона качелей — полная энергия; $p = m l^{2} \dot{θ}$ — канонический импульс (момент импульса).

\dot{θ} = \frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial θ}

Уравнения Гамильтона: скорость точки на карте (синяя и красная стрелки на доске).

\frac{d F}{d t} = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial t}, {F, G} = \sum_{i} (\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}})

Скобки Пуассона: если ${F, H} = 0$ и $\partial F / \partial t = 0$ , то $F$ — интеграл движения.

T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K (k), k = \sin \frac{θ_{0}}{2}

Период зависит от амплитуды: $K$ — полный эллиптический интеграл; на сепаратрисе ( $θ_{0} \to 180 °$ ) $T \to \infty$ .

J = \oint p d θ \approx \frac{2 π E}{ω} = const

Переменная действия — площадь, охваченная орбитой. При медленном изменении параметра она сохраняется (адиабатический инвариант).

Теория

Фазовое пространство и уравнения Гамильтона

В гамильтоновой механике состояние задаётся обобщённой координатой $q$ и каноническим импульсом $p = \partial L / \partial \dot{q}$ . Функция Гамильтона $H = p \dot{q} - L$ (здесь это полная энергия) даёт два уравнения Гамильтона первого порядка и каждой точке фазовой плоскости $(θ, p)$ сопоставляет вектор скорости. Траектории не пересекаются: из одного состояния выходит только одно будущее. Замкнутые линии на доске — колебания, волнистые линии — полные обороты, а разделяет их сепаратриса $H = 2 m g l$ : это движение, которое приближается к перевёрнутому верхнему положению за бесконечно долгое время. $H$ не зависит от времени явно (однородность времени), поэтому энергия сохраняется и точка всё время остаётся на одной линии. Модель: качели с жёстким стержнем (как 360-градусные качели в аттракционах), точечная масса $m = 30$ кг, трения нет.

Принцип наименьшего действия

Действие $S = \int L d t$ ставит каждому пути в соответствие одно число. Принцип Гамильтона: среди путей с закреплёнными концами настоящее движение делает $S$ стационарным, а на коротком промежутке — минимальным. В разделе «Принцип Гамильтона» к настоящему пути добавляется $ε \sin (π t / τ)$ ( $τ = 0,4 T_{0}$ — короче полупериода): на графике $S (ε) - S (0) \geq 0$ , минимум именно при $ε = 0$ . Если рассматривать действие вдоль настоящего пути как функцию конечной точки, то $\partial S / \partial q = p$ и $\partial S / \partial t = - H$ . При заданной энергии работает принцип Мопертюи: сокращённое действие $S_{0} = \int p d q$ стационарно на настоящей траектории.

Теорема Лиувилля

Фазовый поток несжимаем: $\partial \dot{q} / \partial q + \partial \dot{p} / \partial p = \partial^{2} H / \partial q \partial p - \partial^{2} H / \partial p \partial q = 0$ . Поэтому даже если пятно начальных состояний вытягивается в тонкую спираль, его площадь (в многомерном случае — фазовый объём) не меняется. Трение ( $\dot{p} = \dots - γ p$ ) делает дивергенцию равной $- γ$ : площадь убывает как $e^{- γ t}$ . Важен и численный метод: симплектическая схема Штёрмера–Верле (чехарда, leapfrog) сохраняет площадь точно, а явный метод Эйлера на каждом шаге изменяет её в $1 + h^{2} ω_{0}^{2} \cos θ$ раз. В статистической физике ансамбль течёт в фазовом пространстве как несжимаемая жидкость: $d ρ / d t = 0$ — основа равновесных распределений.

Скобки Пуассона и канонические преобразования

Для любой величины $d F / d t = {F, H} + \partial F / \partial t$ ; основные скобки ${q, p} = 1$ , ${q, q} = {p, p} = 0$ . Замена переменных, сохраняющая их, называется канонической: в новых переменных уравнения Гамильтона имеют тот же вид. Удобно записывать её через производящую функцию: для гармонического осциллятора замена $F_{1} = \frac{1}{2} m ω q^{2} \cot φ$ даёт $q = \sqrt{2 I / (m ω)} \sin φ$ , $p = \sqrt{2 m ω I} \cos φ$ ( $I = J / 2 π$ ), и $H = ω I$ . Вид $(φ, J)$ в режиме «Адиабатический» — точный вариант этой замены для маятника; ${φ, J / 2 π}$ в HUD симуляция вычисляет численно, и получается 1.

Переменные действие–угол и адиабатический инвариант

При периодическом движении действие $J = \oint p d q$ — площадь, охваченная орбитой, а угол $φ$ растёт равномерно: $\dot{φ} = ω = \partial H / \partial I$ , $I = J / 2 π$ . Если параметр (длина верёвки) меняется медленно по сравнению с периодом, то и энергия, и частота меняются, а $J$ остаётся почти постоянным — адиабатический инвариант. При малых колебаниях $J = 2 π E / ω$ : если верёвку укоротить вдвое, то и $ω$ , и энергия возрастут в $\sqrt{2}$ раз (работу совершает рука, тянущая верёвку). При быстром вытягивании инвариант нарушается. Та же идея работает в магнитных ловушках: для заряженной частицы $μ = m v_{⟂}^{2} / (2 B)$ — адиабатический инвариант, поэтому частица, летящая в сторону сильного поля, отражается от магнитного зеркала — так удерживаются радиационные пояса Земли (подробнее — в эксперименте «Полярное сияние и сила Лоренца»).

Симметрия и законы сохранения

Каждой непрерывной симметрии функции Лагранжа соответствует сохраняющаяся величина (теорема Нётер): однородность времени → энергия, однородность пространства → импульс, изотропия → момент импульса. Если координата не входит в $H$ , она циклическая: ${\dot{p}}_{x} = - \partial H / \partial x = 0$ . В круглой чаше $φ$ циклическая, $p_{φ} = L_{z}$ постоянен, а функция Рауса сводит задачу к одной радиальной координате: $V_{e f} (r) = V (r) + L_{z}^{2} / (2 m r^{2})$ — именно она на графике. В замкнутой системе однородность означает равномерное движение центра масс. Уравнение Гамильтона–Якоби $\partial S / \partial t + H (q, \partial S / \partial q) = 0$ разделяется по циклическим координатам: $S = - E t + L_{z} φ + S_{r} (r)$ ; в полярных и сферических координатах так же решается и задача Кеплера (подробнее — в эксперименте «Законы Кеплера»). Модель: поверхность чаши — график потенциала $V = m g h (x, y)$ ; шайба движется без трения по горизонтальной плоскости (склоны считаются малыми).

Знаете ли вы?

В 1911 году на первом Сольвеевском конгрессе Хендрик Лоренц задал вопрос о маятнике, нить которого медленно укорачивают. Альберт Эйнштейн ответил: если длина меняется бесконечно медленно, отношение энергии к частоте $E / ν$ не меняется. Это один из первых точных примеров адиабатического инварианта.
Эмми Нётер опубликовала теорему, связывающую симметрии и законы сохранения, в 1918 году в статье «Invariante Variationsprobleme».

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.