Fizika · Mexanika · 2-kurs

Gamilton mexanikasi

Arg‘imchoqning butun kelajagini bitta xaritaga qanday sig‘dirish mumkin?

Vaziyat

Bolalar maydonchasida arg‘imchoq uchyapti. Har bir lahzada uning holatini ikki son to‘liq belgilaydi: og‘ish burchagi $θ$ va impuls $p$ . Shu ikki sonni xaritadagi nuqta deb olsak, arg‘imchoqning butun kelajagi xaritadagi bitta chiziqqa aylanadi. Arg‘imchoq yonidagi katta taxtada aynan shu xarita: tebranishlar, to‘liq aylanishlar va ularni ajratib turgan chegara. Bu xaritadagi «suyuqlik» nega hech qachon siqilmaydi — va qaysi kattaliklar hech o‘zgarmay qoladi?

Mavzu

Gamilton mexanikasi va fazaviy fazo. Mayatnikning fazaviy portreti: saqlanish qonunlari simmetriyadan

Asosiy tushunchalar

Fazaviy fazo va Gamilton tenglamalari
Liuvill teoremasi
Simmetriya va saqlanish qonunlari

Formulalar

H (θ, p) = \frac{p^{2}}{2 m l^{2}} + m g l (1 - \cos θ)

Arg‘imchoqning Gamilton funksiyasi — to‘liq energiya; $p = m l^{2} \dot{θ}$ — kanonik impuls (impuls momenti).

\dot{θ} = \frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial θ}

Gamilton tenglamalari: xaritadagi nuqtaning tezligi (taxtadagi ko‘k va qizil strelkalar).

\frac{d F}{d t} = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial t}, {F, G} = \sum_{i} (\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}} - \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}})

Puasson qavslari: ${F, H} = 0$ va $\partial F / \partial t = 0$ bo‘lsa, $F$ — harakat integrali.

T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K (k), k = \sin \frac{θ_{0}}{2}

Davr amplitudaga bog‘liq: $K$ — to‘liq elliptik integral; separatrisada ( $θ_{0} \to 180 °$ ) $T \to \infty$ .

J = \oint p d θ \approx \frac{2 π E}{ω} = const

Ta’sir o‘zgaruvchisi — orbita o‘ragan yuza. Parametr sekin o‘zgarsa, u saqlanadi (adiabatik invariant).

Nazariya

Fazaviy fazo va Gamilton tenglamalari

Gamilton mexanikasida holat umumlashgan koordinata $q$ va kanonik impuls $p = \partial L / \partial \dot{q}$ bilan beriladi. Gamilton funksiyasi $H = p \dot{q} - L$ (bu yerda to‘liq energiya) ikkita birinchi tartibli Gamilton tenglamasini beradi va $(θ, p)$ fazaviy tekisligining har bir nuqtasiga tezlik vektorini biriktiradi. Trayektoriyalar kesishmaydi: bir holatdan faqat bitta kelajak chiqadi. Taxtadagi yopiq chiziqlar — tebranishlar, to‘lqinsimon chiziqlar — to‘liq aylanishlar, ularni separatrisa $H = 2 m g l$ ajratadi: bu harakat teskari yuqori holatga cheksiz uzoq vaqtda yaqinlashadi. $H$ vaqtga oshkor bog‘liq emas (vaqtning bir jinsliligi), shuning uchun energiya saqlanadi va nuqta doim bitta chiziqda qoladi. Model: qattiq sterjenli arg‘imchoq (attraksionlardagi 360° arg‘imchoq kabi), $m = 30$ kg nuqtaviy massa, ishqalanish yo‘q.

Eng kichik ta’sir prinsipi

Ta’sir $S = \int L d t$ har bir yo‘lga bitta son beradi. Gamilton prinsipi: chetki nuqtalari belgilangan yo‘llar ichida haqiqiy harakat $S$ ni statsionar qiladi, qisqa oraliqda esa minimal. «Gamilton prinsipi» bo‘limida haqiqiy yo‘lga $ε \sin (π t / τ)$ qo‘shiladi ( $τ = 0,4 T_{0}$ — yarim davrdan qisqa): grafikda $S (ε) - S (0) \geq 0$ , minimum aynan $ε = 0$ da. Haqiqiy yo‘l bo‘ylab olingan ta’sirni oxirgi nuqtaning funksiyasi deb qarasak, $\partial S / \partial q = p$ va $\partial S / \partial t = - H$ . Energiya berilganda Mopertyui prinsipi ishlaydi: qisqartirilgan ta’sir $S_{0} = \int p d q$ haqiqiy trayektoriyada statsionar.

Liuvill teoremasi

Fazaviy oqim siqilmaydi: $\partial \dot{q} / \partial q + \partial \dot{p} / \partial p = \partial^{2} H / \partial q \partial p - \partial^{2} H / \partial p \partial q = 0$ . Shuning uchun boshlang‘ich holatlar dog‘i ingichka spiralga cho‘zilsa ham, uning yuzasi (ko‘p o‘lchamda — fazaviy hajm) o‘zgarmaydi. Ishqalanish ( $\dot{p} = \dots - γ p$ ) divergensiyani $- γ$ qiladi: yuza $e^{- γ t}$ bo‘yicha kamayadi. Sonli usul ham muhim: simplektik Störmer–Verle (leapfrog) sxemasi yuzani aniq saqlaydi, oshkor Eyler usuli esa har qadamda uni $1 + h^{2} ω_{0}^{2} \cos θ$ marta o‘zgartiradi. Statistik fizikada ansambl fazaviy fazoda siqilmas suyuqlik kabi oqadi: $d ρ / d t = 0$ — muvozanat taqsimotlarining asosi.

Puasson qavslari va kanonik almashtirishlar

Har qanday kattalik uchun $d F / d t = {F, H} + \partial F / \partial t$ ; asosiy qavslar ${q, p} = 1$ , ${q, q} = {p, p} = 0$ . Ularni saqlaydigan o‘zgaruvchilar almashtirishi kanonik deyiladi: yangi o‘zgaruvchilarda ham Gamilton tenglamalari o‘sha ko‘rinishda. Uni hosil qiluvchi funksiya bilan yozish qulay: garmonik ossillyator uchun $F_{1} = \frac{1}{2} m ω q^{2} \cot φ$ almashtirishi $q = \sqrt{2 I / (m ω)} \sin φ$ , $p = \sqrt{2 m ω I} \cos φ$ ni beradi ( $I = J / 2 π$ ) va $H = ω I$ bo‘lib qoladi. «Adiabatik» rejimdagi $(φ, J)$ ko‘rinishi — mayatnik uchun shu almashtirishning aniq varianti; HUD dagi ${φ, J / 2 π}$ ni simulyatsiya sonli hisoblaydi va u 1 ga teng chiqadi.

Ta’sir–burchak o‘zgaruvchilari va adiabatik invariant

Davriy harakatda ta’sir $J = \oint p d q$ — orbita o‘ragan yuza, burchak $φ$ esa bir tekis o‘sadi: $\dot{φ} = ω = \partial H / \partial I$ , $I = J / 2 π$ . Parametr (arqon uzunligi) davrga nisbatan sekin o‘zgarsa, energiya ham, chastota ham o‘zgaradi, $J$ esa deyarli o‘zgarmaydi — adiabatik invariant. Kichik tebranishda $J = 2 π E / ω$ : arqon 2 marta qisqarsa, $ω$ ham, energiya ham $\sqrt{2}$ marta ortadi (ishni arqonni tortgan qo‘l bajaradi). Tez tortilsa, invariant buziladi. Xuddi shu g‘oya magnit tuzoqlarda ishlaydi: zaryadli zarra uchun $μ = m v_{⟂}^{2} / (2 B)$ adiabatik invariant, shuning uchun kuchli maydon tomon uchgan zarra magnit ko‘zgudan qaytadi — Yerning radiatsion kamarlari shunday ushlab turiladi (batafsil — «Qutb yog‘dusi va Lorens kuchi» tajribasida).

Simmetriya va saqlanish qonunlari

Lagranj funksiyasining har bir uzluksiz simmetriyasiga saqlanadigan kattalik mos keladi (Nyoter teoremasi): vaqtning bir jinsliligi → energiya, fazoning bir jinsliligi → impuls, izotropiya → impuls momenti. Koordinata $H$ ga kirmasa, u siklik: ${\dot{p}}_{x} = - \partial H / \partial x = 0$ . Doiraviy kosada $φ$ siklik, $p_{φ} = L_{z}$ o‘zgarmaydi va Raus funksiyasi masalani bitta radial koordinataga keltiradi: $V_{e f} (r) = V (r) + L_{z}^{2} / (2 m r^{2})$ — grafikda shu. Yopiq sistemada bir jinslilik inersiya markazi tekis harakatlanishini bildiradi. Gamilton–Yakobi tenglamasi $\partial S / \partial t + H (q, \partial S / \partial q) = 0$ siklik koordinatalar bo‘yicha ajraladi: $S = - E t + L_{z} φ + S_{r} (r)$ ; qutb va sferik koordinatalarda Kepler masalasi ham shunday yechiladi (batafsil — «Kepler qonunlari» tajribasida). Model: kosa sirti — potensial $V = m g h (x, y)$ grafigi; shayba gorizontal tekislikda ishqalanishsiz harakatlanadi (qiyaliklar kichik deb olingan).

Bilasizmi?

1911-yilda birinchi Solvey kongressida Hendrik Lorens ipi sekin qisqartirilayotgan mayatnik haqida savol berdi. Albert Eynshteyn javob berdi: uzunlik cheksiz sekin o‘zgarsa, energiyaning chastotaga nisbati $E / ν$ o‘zgarmaydi. Bu adiabatik invariantning ilk aniq misollaridan biri.
Emmi Nyoter simmetriyalar va saqlanish qonunlarini bog‘lovchi teoremasini 1918-yilda «Invariante Variationsprobleme» maqolasida e’lon qilgan.

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.