Fizika · Mexanika · 2-kurs

Lagranj mexanikasi va xaos

Bir xil qo‘yib yuborilgan qo‘sh mayatnik nega bir necha soniyada boshqacha tebranadi?

Vaziyat

Fizika laboratoriyasida devorga ikki bo‘g‘inli mayatnik o‘rnatilgan. O‘qituvchi uni ikki marta bir xil holatdan qo‘yib yuboradi: birinchi soniyalarda harakat bir xil, keyin esa butunlay boshqacha. Qonunlar aniq, tenglamalar ma’lum, tasodif yo‘q — nusxalar orasidagi farq esa ko‘zga ko‘rinmas darajada kichik edi. Unda nega harakatni bir necha soniyadan keyin oldindan aytib bo‘lmaydi?

Mavzu

Lagranj mexanikasi va xaos. Qo‘sh mayatnik: kichik farq — butunlay boshqa harakat

Asosiy tushunchalar

Eyler–Lagranj tenglamalari
Deterministik xaos
Lyapunov ko‘rsatkichi

Formulalar

L = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} {\dot{θ}}_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} \cos (θ_{1} - θ_{2}) + (m_{1} + m_{2}) g l_{1} \cos θ_{1} + m_{2} g l_{2} \cos θ_{2}

Lagranj funksiyasi $L = T - V$ : umumlashgan koordinatalar — ikki burchak.

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t, δ S = 0 ⟹ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{θ}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial θ_{i}} = 0

Eng kichik ta’sir (Gamilton) prinsipidan Eyler–Lagranj tenglamalari ( $i = 1, 2$ ).

(m_{1} + m_{2}) l_{1} {\ddot{θ}}_{1} + m_{2} l_{2} {\ddot{θ}}_{2} \cos Δ + m_{2} l_{2} {\dot{θ}}_{2}^{2} \sin Δ + (m_{1} + m_{2}) g \sin θ_{1} = 0

Birinchi tenglama, $Δ = θ_{1} - θ_{2}$ .

l_{2} {\ddot{θ}}_{2} + l_{1} {\ddot{θ}}_{1} \cos Δ - l_{1} {\dot{θ}}_{1}^{2} \sin Δ + g \sin θ_{2} = 0

Ikkinchi tenglama. Ikkalasi bog‘langan va nochiziqli.

| δ θ (t) | \approx | δ θ_{0} | e^{λ t}

Xaosda kichik farq eksponensial o‘sadi; $λ$ — Lyapunov ko‘rsatkichi.

Nazariya

Lagranj usuli

Kuchlar o‘rniga energiyani yozamiz. Sistema holatini to‘liq aniqlaydigan mustaqil kattaliklar soni — erkinlik darajalari soni. Tekislikdagi ikki moddiy nuqtaning 4 ta koordinatasi bor, ikki sterjen esa 2 ta shart qo‘yadi: $4 - 2 = 2$ . Shuning uchun umumlashgan koordinatalar — ikki burchak $θ_{1}, θ_{2}$ , umumlashgan tezliklar — ${\dot{θ}}_{1}, {\dot{θ}}_{2}$ . Moddiy nuqtalar sistemasining Lagranj funksiyasi $L = T - U = \sum_{a} m_{a} v_{a}^{2} / 2 - U$ : $v_{a}$ ni burchaklar orqali yozsak, yuqoridagi formula chiqadi. Umumlashgan kuchlar $Q_{i} = - \partial U / \partial θ_{i}$ — bu yerda og‘irlik kuchlarining momentlari (N·m). Sterjenlarning kuchlari tenglamaga umuman kirmaydi. Eyler–Lagranj tenglamalari ikkita bog‘langan nochiziqli tenglamani beradi — simulyator ularni RK4 usuli bilan, juda kichik qadam bilan yechadi. Paneldagi «Lagranj kattaliklari» bo‘limida $L$ , $Q_{i}$ va ${\dot{θ}}_{i}$ ni kuzating.

Bog‘lanishlar va Dalamber prinsipi

Sterjenlar — golonom bog‘lanishlar: ular koordinatalarga shart qo‘yadi ( $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = l_{1}^{2}$ va h.k.) va erkinlik darajalarini kamaytiradi. Bog‘lanish reaksiya kuchlari (sterjen kuchlari $T_{1}, T_{2}$ ) sharchalarning nisbiy tezligiga doim perpendikulyar, demak ish bajarmaydi — paneldagi ularning umumiy quvvati doim nol. Bunday ideal bog‘lanishlar uchun Dalamber prinsipi: aktiv kuchlar va inersiya «kuchlari» $- m_{a} {\vec{a}}_{a}$ ning bog‘lanishga mos har qanday kichik siljishdagi ishi nolga teng; undan bevosita Eyler–Lagranj tenglamalari kelib chiqadi. Reaksiyalar kerak bo‘lsa, topilgan harakatdan Nyuton qonuni bilan hisoblanadi — panelda $T_{1}, T_{2}$ shunday olingan (manfiy qiymat — sterjen siqilgan). Nogolonom bog‘lanishlar tezliklarga shart qo‘yadi va uni integrallab, koordinatalar orasidagi shartga keltirib bo‘lmaydi (sirpanmasdan dumalayotgan shar, konki): ular koordinatalar sonini kamaytirmaydi, tenglamalarga Lagranj ko‘paytuvchilari bilan kiritiladi. Sterjenlar o‘rniga og‘ir qattiq jismlar olinsa ham usul o‘zgarmaydi: $m l^{2}$ o‘rniga inersiya momentlari yoziladi — qattiq jismlar sistemasi ham shu ikki burchak bilan tavsiflanadi.

Eng kichik ta’sir prinsipi

Ta’sir — Lagranj funksiyasining vaqt bo‘yicha integrali: $S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t$ (J·s). Gamilton prinsipi: boshlang‘ich va oxirgi holatlar berilgan bo‘lsa, sistema ular orasidagi barcha xayoliy yo‘llardan ta’sir statsionar bo‘lgan yo‘lni tanlaydi ( $δ S = 0$ ); variatsiyalar hisobi bu shartni aynan Eyler–Lagranj tenglamalariga aylantiradi. Panelda asosiy mayatnik uchun to‘planayotgan $S$ ko‘rsatiladi. Erkin zarra uchun $L = m v^{2} / 2$ (Galiley invariantligi — «Vektorlar va harakat nisbiyligi»), relyativistik erkin zarra uchun $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ . Gamilton funksiyasi va fazaviy fazo — «Gamilton mexanikasi» tajribasida.

Xaos: «kapalak effekti»

Katta burchaklarda harakat xaotik: boshlang‘ich farq taxminan $e^{λ t}$ kabi o‘sadi. Pastdagi grafikda $\ln | Δ θ |$ avval to‘g‘ri chiziq bo‘lib ko‘tariladi (qiyaligi — $λ$ ), keyin to‘yinadi. $δ$ ni 1000 marta kamaytirsangiz, ajralish vaqti atigi $\ln 1000 / λ$ ga — bir necha soniyaga uzayadi. Shuning uchun harakat deterministik, lekin uzoq muddatga bashorat qilib bo‘lmaydi.

Kichik tebranishlar — normal modalar

Kichik burchaklarda $\sin θ \approx θ$ , tenglamalar chiziqli va harakat ikki normal moda yig‘indisi. $m_{1} = m_{2}$ , $l_{1} = l_{2} = l$ bo‘lsa, $ω^{2} = \frac{g}{l} (2 \mp \sqrt{2})$ ; sekin modada sharchalar bir tomonga, $θ_{2} / θ_{1} = \sqrt{2}$ , tez modada qarama-qarshi, $θ_{2} / θ_{1} = - \sqrt{2}$ . Bu yerda xaos yo‘q — nusxalar birga qoladi.

Raqamli integrallash va model

Kompyuter vaqtni $h$ qadamlarga bo‘lib hisoblaydi. Oddiy Eyler usuli har qadamda xato qiladi va energiya o‘z-o‘zidan o‘sib boradi; RK4 to‘rtinchi tartibli: xato taxminan $h^{4}$ ga proporsional. Ishqalanish yo‘q, demak energiya o‘zgarmasligi kerak — bu integratorning eng yaxshi testi. Model: nuqtaviy massalar, vaznsiz qattiq sterjenlar, havo qarshiligi yo‘q.

Bilasizmi?

Meteorolog Edvard Lorens 1961-yilda ob-havo modelini qayta hisoblaganda boshlang‘ich sonni 0,506127 o‘rniga yaxlitlab 0,506 deb kiritgan. Bir necha (model) oydan keyin «ob-havo» butunlay boshqacha chiqqan — bu kuzatuv xaos nazariyasining boshlanishi bo‘ldi.
«Kapalak effekti» atamasi Lorensning 1972-yildagi ma’ruzasi nomidan olingan: «Braziliyadagi kapalakning qanot qoqishi Texasda tornado keltirib chiqarishi mumkinmi?»

Tajribada nima bor

Tajriba hayotiy vaziyatdan boshlanadi: natijani taxmin qilasiz, boshqaruvlarni o‘zgartirib tajriba o‘tkazasiz va xulosa chiqarasiz. Ichida topshiriqlar, nazariya, test va ekskursiya bor — kamera o‘zi harakatlanib, eng muhim joylarni tushuntiradi.

Shu bo‘limdagi boshqa tajribalar

Qiya tekislik va Atvud mashinasi — 10-sinf
Erkin tushish va havo — 10-sinf
Reaktiv harakat va raketa — 10-sinf
Qovushqoqlik va oqim — 10-sinf
Giroskop va pretsessiya — 1-kurs
Gamilton mexanikasi — 2-kurs