Физика · Механика · 2 курс

Механика Лагранжа и хаос

Почему двойной маятник, отпущенный одинаково, через несколько секунд колеблется по-разному?

Ситуация

В физической лаборатории на стене установлен двойной маятник. Учитель дважды отпускает его из одного и того же положения: первые секунды движение одинаково, а потом совершенно разное. Законы точны, уравнения известны, случайности нет — а разница между копиями была незаметно мала. Почему же тогда движение нельзя предсказать уже через несколько секунд?

Тема

Механика Лагранжа и хаос. Двойной маятник: малая разница — совершенно другое движение

Ключевые понятия

Уравнения Эйлера–Лагранжа
Детерминированный хаос
Показатель Ляпунова

Формулы

L = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} {\dot{θ}}_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} \cos (θ_{1} - θ_{2}) + (m_{1} + m_{2}) g l_{1} \cos θ_{1} + m_{2} g l_{2} \cos θ_{2}

Функция Лагранжа $L = T - V$ : обобщённые координаты — два угла.

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t, δ S = 0 ⟹ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{θ}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial θ_{i}} = 0

Из принципа наименьшего действия (Гамильтона) — уравнения Эйлера — Лагранжа ( $i = 1, 2$ ).

(m_{1} + m_{2}) l_{1} {\ddot{θ}}_{1} + m_{2} l_{2} {\ddot{θ}}_{2} \cos Δ + m_{2} l_{2} {\dot{θ}}_{2}^{2} \sin Δ + (m_{1} + m_{2}) g \sin θ_{1} = 0

Первое уравнение, $Δ = θ_{1} - θ_{2}$ .

l_{2} {\ddot{θ}}_{2} + l_{1} {\ddot{θ}}_{1} \cos Δ - l_{1} {\dot{θ}}_{1}^{2} \sin Δ + g \sin θ_{2} = 0

Второе уравнение. Оба связаны и нелинейны.

| δ θ (t) | \approx | δ θ_{0} | e^{λ t}

При хаосе малая разность растёт экспоненциально; $λ$ — показатель Ляпунова.

Теория

Метод Лагранжа

Вместо сил запишем энергию. Число независимых величин, полностью задающих состояние системы, — число степеней свободы. У двух материальных точек на плоскости 4 координаты, а два стержня накладывают 2 условия: $4 - 2 = 2$ . Поэтому обобщённые координаты — два угла $θ_{1}, θ_{2}$ , обобщённые скорости — ${\dot{θ}}_{1}, {\dot{θ}}_{2}$ . Функция Лагранжа системы материальных точек $L = T - U = \sum_{a} m_{a} v_{a}^{2} / 2 - U$ : если записать $v_{a}$ через углы, получится формула выше. Обобщённые силы $Q_{i} = - \partial U / \partial θ_{i}$ — здесь это моменты сил тяжести (Н·м). Силы стержней в уравнения вообще не входят. Уравнения Эйлера — Лагранжа дают два связанных нелинейных уравнения — симулятор решает их методом РК4 с очень малым шагом. Следите за $L$ , $Q_{i}$ и ${\dot{θ}}_{i}$ в разделе панели «Величины Лагранжа».

Связи и принцип Даламбера

Стержни — голономные связи: они накладывают условия на координаты ( $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = l_{1}^{2}$ и т. д.) и уменьшают число степеней свободы. Силы реакции связей (силы стержней $T_{1}, T_{2}$ ) всегда перпендикулярны относительной скорости шариков, значит, не совершают работы — их суммарная мощность на панели всегда равна нулю. Для таких идеальных связей действует принцип Даламбера: работа активных сил и «сил» инерции $- m_{a} {\vec{a}}_{a}$ на любом малом перемещении, согласованном со связью, равна нулю; из него прямо следуют уравнения Эйлера — Лагранжа. Если реакции нужны, их вычисляют по найденному движению с помощью закона Ньютона — на панели $T_{1}, T_{2}$ получены именно так (отрицательное значение — стержень сжат). Неголономные связи накладывают условия на скорости, и их нельзя проинтегрировать и свести к условию между координатами (шар, катящийся без проскальзывания, конёк): они не уменьшают число координат и входят в уравнения через множители Лагранжа. Если вместо стержней взять тяжёлые твёрдые тела, метод не меняется: вместо $m l^{2}$ записываются моменты инерции — система твёрдых тел тоже описывается этими двумя углами.

Принцип наименьшего действия

Действие — интеграл функции Лагранжа по времени: $S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t$ (Дж·с). Принцип Гамильтона: при заданных начальном и конечном состояниях система из всех воображаемых путей между ними выбирает тот, на котором действие стационарно ( $δ S = 0$ ); вариационное исчисление превращает это условие в уравнения Эйлера — Лагранжа. На панели показано накапливающееся $S$ для основного маятника. Для свободной частицы $L = m v^{2} / 2$ (инвариантность Галилея — «Векторы и относительность движения»), для релятивистской свободной частицы $L = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ . Функция Гамильтона и фазовое пространство — в эксперименте «Гамильтонова механика».

Хаос: «эффект бабочки»

При больших углах движение хаотично: начальная разность растёт примерно как $e^{λ t}$ . На нижнем графике $\ln | Δ θ |$ сначала поднимается прямой линией (наклон — $λ$ ), затем насыщается. Если уменьшить $δ$ в 1000 раз, время расхождения увеличится лишь на $\ln 1000 / λ$ — на несколько секунд. Поэтому движение детерминировано, но надолго вперёд непредсказуемо.

Малые колебания — нормальные моды

При малых углах $\sin θ \approx θ$ , уравнения линейны, и движение — сумма двух нормальных мод. При $m_{1} = m_{2}$ , $l_{1} = l_{2} = l$ имеем $ω^{2} = \frac{g}{l} (2 \mp \sqrt{2})$ ; в медленной моде шарики отклоняются в одну сторону, $θ_{2} / θ_{1} = \sqrt{2}$ , в быстрой — в противоположные, $θ_{2} / θ_{1} = - \sqrt{2}$ . Хаоса здесь нет — копии остаются вместе.

Численное интегрирование и модель

Компьютер считает время шагами $h$ . Простой метод Эйлера делает ошибку на каждом шаге, и энергия сама собой растёт; РК4 — четвёртого порядка: ошибка примерно пропорциональна $h^{4}$ . Трения нет, значит, энергия должна сохраняться — это лучшая проверка интегратора. Модель: точечные массы, невесомые жёсткие стержни, сопротивления воздуха нет.

Знаете ли вы?

Метеоролог Эдвард Лоренц в 1961 году при повторном расчёте модели погоды ввёл начальное число 0,506127, округлив его до 0,506. Через несколько (модельных) месяцев «погода» получилась совсем другой — это наблюдение положило начало теории хаоса.
Термин «эффект бабочки» взят из названия доклада Лоренца 1972 года: «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?»

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс
Реактивное движение и ракета — 10 класс
Вязкость и течение — 10 класс
Гироскоп и прецессия — 1 курс
Гамильтонова механика — 2 курс