Физика · Механика · 10 класс

Свободное падение и воздух

Монета и пёрышко падают в воздухе по-разному, а в вакууме одновременно — почему?

Ситуация

До Галилея большинство людей считало, что тяжёлое тело падает быстрее лёгкого. И правда: если одновременно отпустить монету и перо, монета сразу ударится об пол, а перо будет, покачиваясь, медленно опускаться. Скорость парашютиста, прыгнувшего с самолёта, тоже не растёт бесконечно — она стабилизируется примерно на 200 км/ч. Что же на самом деле определяет падение: масса, воздух или планета? Проверим это с помощью трубки Ньютона, парашютиста, брошенного мяча и лабораторных фотоворот.

Тема

Свободное падение и сопротивление воздуха. Перо и монета в вакуумной трубке, предельная скорость парашютиста

Ключевые понятия

Ускорение свободного падения
Сопротивление воздуха
Предельная скорость

Формулы

v = g t, h = \frac{g t^{2}}{2}

Свободное падение: без начальной скорости и без сопротивления воздуха.

y = v_{0} t - \frac{g t^{2}}{2}, t_{k} = \frac{v_{0}}{g}, h_{m a x} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}

Тело, брошенное вертикально вверх: время подъёма и наибольшая высота.

F_{q} = \frac{1}{2} C ρ S v^{2}, v_{c h} = \sqrt{\frac{2 m g}{C ρ S}}

Сопротивление воздуха при большой скорости; предельная скорость из условия $F_{q} = m g$ .

g = \frac{G M}{{(R + h)}^{2}}

Ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра планеты.

g = \frac{2 (h_{2} - h_{1})}{t_{2}^{2} - t_{1}^{2}}, g = \frac{4 π^{2} L}{T^{2}}

Лаборатория: методы с двумя фотоворотами и с математическим маятником.

Теория

Почему все тела падают одинаково?

Земля притягивает каждое тело с силой, пропорциональной его массе: $F = m g$ . Но чем больше масса, тем труднее тело разогнать (инерция): $a = F / m = g$ . Масса сокращается — без воздуха и монета, и перо падают с одинаковым ускорением. Откачайте воздух из трубки Ньютона: с высоты 0,90 м оба упадут за $\sqrt{2 h / g} \approx 0,43$ с. Движение только под действием силы тяжести без начальной скорости — свободное падение, частный случай равноускоренного движения.

Сопротивление воздуха зависит от скорости

При малых скоростях (пылинка, шарик в меде) сопротивление пропорционально скорости — закон Стокса (эксперимент «Вязкость и течение»). При большой скорости оно пропорционально квадрату скорости: $F_{q} = \frac{1}{2} C ρ S v^{2}$ . С ростом скорости растёт и $F_{q}$ ; когда $F_{q} = m g$ , ускорение равно нулю — тело падает равномерно с предельной скоростью. Для пера это ≈ 0,6 м/с, для парашютиста ≈ 55–60 м/с, с раскрытым парашютом ≈ 5–6 м/с. Если воздух разрежен (уменьшается $ρ$ ), $v_{c h}$ растёт.

Парашютист

Сразу после прыжка $a \approx g$ ; с ростом скорости сопротивление растёт, ускорение уменьшается — график $v (t)$ изгибается и приближается к линии предельной скорости (примерно через 15 с, после ~600 м). При падении на животе площадь велика, головой вниз — мала, поэтому предельная скорость больше. Когда раскрывается парашют, $C S$ увеличивается примерно в 80 раз: несколько секунд сопротивление больше силы тяжести и тормозит человека (≈ 3–4 g), затем устанавливается новая предельная скорость. На высоте воздух разрежен, поэтому на 4 км предельная скорость примерно на 16 % больше, чем на 1 км.

Тело, брошенное вертикально и горизонтально

При вертикальном броске $y = v_{0} t - g t^{2} / 2$ , $v = v_{0} - g t$ . В наивысшей точке $v = 0$ : $t_{k} = v_{0} / g$ , $h_{m a x} = v_{0}^{2} / 2 g$ . Движение без воздуха симметрично: падение тоже длится $v_{0} / g$ , тело возвращается в руку со скоростью $v_{0}$ , точки стробоскопа лежат на одинаковых высотах. С воздухом подъём короче, падение дольше. У тела, брошенного горизонтально, два движения независимы: по горизонтали равномерное, по вертикали — свободное падение; оно падает на землю одновременно с выпущенным из рук телом. Бросок под углом к горизонту — в эксперименте «Баскетбол: штрафной бросок».

g при удалении от Земли

Из закона всемирного тяготения $m g = G M m / {(R + h)}^{2}$ , значит, $g = G M / {(R + h)}^{2}$ : если расстояние до центра увеличить вдвое ( $h = R$ ), $g$ уменьшится в 4 раза. На Международной космической станции (≈ 400 км) $g \approx 8,7$ м/с² — невесомость там не из-за отсутствия тяготения, а из-за свободного падения вместе со станцией. И на поверхности Земли $g$ не везде одинаково: на экваторе ≈ 9,78, на полюсах ≈ 9,83 м/с² (из-за вращения и формы Земли), в Ташкенте ≈ 9,80 м/с².

Измерение g (лабораторные работы)

Два фотоворота: шарик отпускают из состояния покоя, секундомер показывает $t_{1}$ и $t_{2}$ ; из $h = g t^{2} / 2$ получаем $g = 2 (h_{2} - h_{1}) / (t_{2}^{2} - t_{1}^{2})$ . Если нанести измерения на график $h$ – $t^{2}$ , наклон прямой равен $g / 2$ . Математический маятник: при малом угле $T = 2 π \sqrt{L / g}$ , $g = 4 π^{2} L / T^{2}$ ; измерьте время 10 колебаний и разделите на 10, угол не должен превышать 10° (при 20° $g$ получается примерно на 1,5 % меньше). У физического (оборотного) маятника $T = 2 π \sqrt{I / (m g d)}$ ; когда периоды относительно двух опор равны, расстояние между ними равно приведённой длине $l_{k}$ и $g = 4 π^{2} l_{k} / T^{2}$ (подробнее — в экспериментах «Качели» и «Пружинный маятник»). Модель: $C$ постоянна, ветра нет, у парашюта стандартная атмосфера, в остальных случаях $g$ и $ρ$ постоянны.

Знаете ли вы?

В 1971 году командир экспедиции «Аполлон-15» Дэвид Скотт на поверхности Луны одновременно отпустил геологический молоток и перо сокола — из-за отсутствия воздуха оба упали на поверхность одновременно.
В 2012 году Феликс Баумгартнер спрыгнул с высоты около 39 км из капсулы, поднятой стратосферным шаром, и разогнался примерно до 1358 км/ч: там воздух настолько разрежен, что он превысил скорость звука.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Реактивное движение и ракета — 10 класс
Вязкость и течение — 10 класс
Гироскоп и прецессия — 1 курс
Механика Лагранжа и хаос — 2 курс
Гамильтонова механика — 2 курс