Физика · Механика · 10 класс

Центр тяжести и равновесие

Как далеко можно выдвинуть книги за край стола и когда ящик опрокинется?

Ситуация

Попробуйте сложить в библиотеке одинаковые книги ступенькой у края стола: самая верхняя книга может полностью выйти за стол и «повиснуть» в воздухе. Пизанская башня наклонена примерно на 4°, а стоит веками. А высокая коробка на наклонной доске иногда опрокидывается, не соскальзывая. Когда тело стоит в равновесии, а когда падает — и можно ли это рассчитать заранее?

Тема

Статика и равновесие. Башня и мост: где находится центр тяжести

Ключевые понятия

Центр тяжести
Условие равновесия
Гармонический ряд

Формулы

x_{c} = \frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}}

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести.

x_{лев} \leq x_{c} \leq x_{прав}

Условие устойчивости: центр тяжести части, лежащей выше каждого яруса, должен находиться над площадью опоры.

d_{k} = \frac{L}{2 k}, s_{N} = \frac{L}{2} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{N})

Книги: смещение $k$ -й книги сверху и наибольший свес (гармонический ряд).

tg θ > \frac{b}{h} (опрокидывается), tg θ > μ (скользит)

Коробка на наклонной доске ( $b$ — ширина основания, $h$ — высота): происходит то, чьё условие выполнится раньше.

\sum {\vec{F}}_{i} = 0, \sum M_{i} = 0

Условия равновесия твёрдого тела. Для тела с неподвижной осью достаточно второго — реакция оси уравновешивает силы.

Теория

Центр тяжести

На каждую часть тела действует сила тяжести — это система параллельных сил. Их равнодействующая равна полному весу и проходит через центр тяжести (в однородном поле он совпадает с центром масс (инерции)). Если вертикаль, опущенная из центра тяжести, попадает внутрь площади опоры, реакция опоры уравновешивает момент. Если вертикаль выходит за опору, сила тяжести создаёт вращающий момент относительно края опоры. Способ найти центр тяжести: подвесить тело поочерёдно за две точки и провести линии отвеса — они пересекутся в центре тяжести (режим «Диск»).

Книги и гармонический ряд

Самая верхняя книга может выступать за нижнюю на $L / 2$ , следующие две вместе — за третью на $L / 4$ , три — за четвёртую на $L / 6$ : каждый раз центр тяжести всех книг сверху оказывается как раз у края нижней книги. Всего: $\frac{L}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots)$ . С 4 книгами это $\approx 1,04 L$ — верхняя книга полностью выходит за стол! Гармонический ряд растёт неограниченно, но очень медленно.

Наклонная доска: опрокидывание или скольжение

По мере увеличения наклона вертикаль из центра тяжести приближается к нижнему краю основания коробки. При $tg θ = b / h$ она достигает края — коробка опрокидывается. А скольжение начинается при $tg θ = μ$ . Происходит то, чьё условие выполняется раньше: высокая узкая коробка опрокидывается, низкая широкая скользит. Посмотрите на графике, какую линию раньше пересечёт кривая $tg θ$ .

Статика: система сил и условия равновесия

Статика выясняет, когда силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга, находит неизвестные реакции и центр тяжести. Сила задаётся величиной, направлением и точкой приложения (линией действия); несколько сил — система сил, её можно заменить одной равнодействующей. Равнодействующая параллельных сил, направленных в одну сторону, равна $F_{1} + F_{2}$ и делит расстояние между ними на части, обратно пропорциональные силам ( $F_{1} d_{1} = F_{2} d_{2}$ ); у антипараллельных сил она равна $| F_{1} - F_{2} |$ и лежит снаружи, со стороны большей силы; равные антипараллельные силы — пара сил, у неё есть только момент (эксперимент «Простые механизмы: рычаг, блок»). Чтобы тело без оси вращения было в равновесии, нужно $\sum \vec{F} = 0$ и $\sum M = 0$ относительно любой точки; для тела с неподвижной осью достаточно $\sum M = 0$ . Лабораторная работа в режиме «Диск»: подвесьте грузы и проверьте, что $M_{1} + M_{2} + M_{d i s k} = 0$ . Здания, мосты и краны рассчитываются по этим условиям: заранее находят реакцию каждой опоры и момент каждой балки.

Виды равновесия и потенциальная энергия

Если у диска на оси центр тяжести ниже оси, после небольшого толчка диск возвращается — устойчивое равновесие; если выше — опрокидывается — неустойчивое; если точно на оси — остаётся в любом положении — безразличное равновесие. Причина в энергии: $U = M g y_{c}$ . В устойчивом положении $U$ наименьшая (ямка на графике), в неустойчивом — наибольшая (вершина), в безразличном не меняется. Без трения тело колеблется около ямки — механическая энергия сохраняется; трение останавливает его в минимуме. Так же с телом на опоре: при наклоне коробки на доске центр тяжести сначала поднимается (устойчиво), при $tg θ = b / h$ вертикаль выходит за край основания — равновесие переходит в неустойчивое. Способы повысить устойчивость: опустить центр тяжести (балласт корабля, противовес крана), расширить площадь опоры, при подвешивании поместить ось выше центра тяжести.

Упрощения модели

Тела твёрдые и однородные, задача решается на плоскости (2D). Грузы на диске висят на нити вертикально (не качаются), трение на оси пропорционально скорости. Падение: вращение на краю опоры ( $I \ddot{φ} = M g Δ x$ ), после ≈ 40° — свободный полёт, упав, тело просто лежит (удар не моделируется). Ярусы башни — одинаковые цилиндры. Трение скольжения $μ_{k} = 0,8 μ$ .

Знаете ли вы?

Наклон Пизанской башни при ремонте в 1990–2001 годах уменьшили примерно с 5,5° до 4°: из-под приподнятой стороны башни осторожно выбрали грунт.
Гармонический ряд растёт неограниченно: если книг достаточно много, самую верхнюю можно вынести за край стола как угодно далеко. Например, чтобы выйти на две длины книги, нужно 31 книга.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Почему корабль не тонет? — 10 класс
Простые механизмы: рычаг, блок — 10 класс
Баскетбол: штрафной бросок — 10 класс
Импульс и его сохранение — 10 класс
Поворот на наклонной трассе — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс