Физика · Механика · 10 класс

Крыло самолёта

Откуда берётся подъёмная сила и почему высоко в горах нужен более длинный разбег?

Ситуация

Крыло самолёта — не просто доска: его верхняя сторона выпуклая. Воздух обтекает крыло сверху быстрее, снизу медленнее, и разность давлений удерживает в воздухе многотонный лайнер. Поднимется ли в воздух с одной и той же скоростью один и тот же самолёт из приморского аэропорта и из аэропорта Эль-Альто (4 061 м) высоко в Андах? Откуда берётся подъёмная сила и от чего она зависит?

Тема

Течение жидкости, уравнение Бернулли. Крыло самолёта: откуда берётся подъёмная сила

Ключевые понятия

Уравнение Бернулли
Подъёмная сила
Плотность воздуха

Формулы

S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}, p + \frac{ρ v^{2}}{2} = const

Уравнения неразрывности и Бернулли: когда поток сужается, скорость растёт; если вдоль линии тока скорость растёт, давление падает.

C_{p} = \frac{p - p_{\infty}}{ρ V^{2} / 2} = 1 - {(\frac{v}{V})}^{2}

Коэффициент давления: синий — низкое давление, красный — высокое.

L^{'} = ρ V Γ, Γ = 4 π a V \sin (α + β)

Теорема Кутта–Жуковского: подъёмная сила на 1 м крыла; $Γ$ — циркуляция (условие Кутта).

L = C_{L} \frac{ρ V^{2}}{2} S, C_{L} \approx 2 π \sin (α + β)

Подъёмная сила пропорциональна квадрату скорости и площади крыла ( $α$ — угол атаки).

v_{u z} = \sqrt{\frac{2 m g}{ρ S C_{L}}}

Скорость отрыва — скорость, при которой $L = m g$ . В разреженном воздухе она больше.

Теория

Бернулли: быстрый поток — низкое давление

В идеальной жидкости вдоль линии тока величина $p + ρ v^{2} / 2$ постоянна. Над крылом линии тока сгущаются — воздух ускоряется, и давление падает (синий). Под крылом воздух замедляется, давление растёт (красный). Разность давлений сверху и снизу, умноженная на площадь крыла, — подъёмная сила. Чем выше на графике $C_{p} (x)$ верхняя линия над нижней, тем больше сила.

Неразрывность и уравнение Эйлера

Если поток стационарный (скорость в каждой точке не меняется со временем), линии тока показывают пути частиц. Через стенку «трубки» между двумя соседними линиями тока жидкость не проходит; в несжимаемой жидкости через каждое сечение за секунду проходит один и тот же объём: $S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ — уравнение неразрывности. Поэтому там, где линии тока сгущаются, скорость больше. Так устроена и сама труба: сечение широкого конфузора примерно в 3,5 раза больше рабочей части — там воздух в 3,5 раза медленнее. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости следует из второго закона Ньютона — уравнения Эйлера: $ρ d \vec{v} / d t = - \nabla p + ρ \vec{g}$ ; проинтегрировав его вдоль линии тока, получим $p + ρ v^{2} / 2 + ρ g h = const$ , а при $v = 0$ — гидростатику $p = p_{0} + ρ g h$ , где $h$ — глубина (эксперимент «Закон Паскаля и гидравлика»). Воздух сжимаем, но при $M = v / c < 0,3$ ( $c \approx 340$ м/с — скорость звука) плотность меняется менее чем на 5 % — в трубе $M \leq 0,18$ . В быстром потоке газ течёт по трубе одномерно: $ρ v S = const$ и $d S / S = (M^{2} - 1) d v / v$ — дозвуковой поток ускоряется при сужении, а сверхзвуковой — при расширении; поэтому сопло ракеты (сопло Лаваля) сначала сужается, а потом расширяется. Звуковые волны — в эксперименте «Звук: скорость, высота, УЗИ».

Циркуляция, потенциальное течение и условие Кутта

Поток в трубе рассчитан точно: преобразование Жуковского $z = ζ + 1 / ζ$ превращает окружность в профиль крыла, а течение вокруг окружности известно. Это течение потенциальное — безвихревое ( $rot \vec{v} = 0$ ), поэтому $\vec{v} = \nabla φ$ , где $φ$ — потенциал скорости, а в несжимаемой жидкости $Δ φ = 0$ (уравнение Лапласа). Циркуляция скорости $Γ = \oint \vec{v} \cdot d \vec{l}$ отлична от нуля только по контуру, охватывающему крыло. В идеальном потоке таких решений много; реальный воздух плавно сходит с острой задней кромки (условие Кутта) — оно определяет $Γ$ и даёт $L^{'} = ρ V Γ$ . Вращающийся мяч или цилиндр тоже создают циркуляцию и получают такую же поперечную силу — эффект Магнуса (водяной тоннель в эксперименте «Вязкость и течение»). В симуляции $C_{L}$ проверен и интегрированием давления по поверхности — результат тот же.

Трубка Пито и формула Торричелли

Уравнение Бернулли широко применяется в технике. Скорость воздуха в трубе измеряет трубка Пито: в отверстии, обращённом против потока, воздух останавливается, и давление повышается на $ρ V^{2} / 2$ , а боковые отверстия воспринимают статическое давление. Разность показывает водяной U-образный манометр: $ρ V^{2} / 2 = ρ_{в} g Δ h$ , то есть $V = \sqrt{2 g Δ h ρ_{в} / ρ}$ — посмотрите на манометр перед трубой в сцене. Так же работает и указатель скорости самолёта. Формула Торричелли имеет тот же вид: из отверстия на глубине $h$ в сосуде вода вытекает со скоростью $v = \sqrt{2 g h}$ (Бернулли: $p_{0} + ρ g h = p_{0} + ρ v^{2} / 2$ ) — равной скорости капли, свободно падающей с высоты $h$ . Трубка Вентури (расходомер), пульверизатор, карбюратор и инжектор газовой плиты используют низкое давление в быстром потоке.

Срыв потока — отрыв течения

В идеальной теории $C_{L}$ растёт с углом атаки неограниченно. Реальный воздух вязкий: примерно после 15° пограничный слой над крылом отрывается от поверхности, появляются вихри, и подъёмная сила резко падает; при отрыве потока резко растёт и лобовое сопротивление. Этого процесса нет в модели потенциального течения — в симуляции спад после 15° описан эмпирической моделью, а дым движется хаотично. Вязкость, ламинарное течение и формула Пуазейля — в экспериментах «Вязкость и течение», поверхностное натяжение и капиллярность — «Поверхностное натяжение и капиллярность».

Взлёт и плотность воздуха

Самолёт отрывается от земли при $L = m g$ : $v \propto 1 / \sqrt{ρ}$ . На высоте 4 км плотность воздуха ≈ 0,81 кг/м³ — скорость отрыва больше примерно на 23 %; тяга двигателя тоже падает, поэтому разбег заметно удлиняется. Упрощения: в трубе двумерное идеальное течение, влияние стенок не учтено, дым замедлен в 60 раз. Самолёт — материальная точка; $C_{L, 3 D} = C_{L} λ / (λ + 2)$ ( $λ = 7,5$ — удлинение крыла), тяга уменьшается со скоростью и пропорциональна $ρ$ , стандартная атмосфера ISA.

Знаете ли вы?

Теорема Кутта–Жуковского названа в честь немецкого математика Мартина Кутта (1902) и русского учёного Николая Жуковского (1906) — они первыми объяснили подъёмную силу через циркуляцию.
Аэропорт Эль-Альто в Боливии расположен на высоте около 4 060 м над уровнем моря. Плотность воздуха там примерно на треть меньше, чем на уровне моря, поэтому самолётам нужна длинная взлётно-посадочная полоса.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Простые механизмы: рычаг, блок — 10 класс
Баскетбол: штрафной бросок — 10 класс
Импульс и его сохранение — 10 класс
Поворот на наклонной трассе — 10 класс
Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс
Реактивное движение и ракета — 10 класс