Физика · Механика · 10 класс

Динамика твёрдого тела

Почему фигуристка, прижав руки, начинает вращаться в несколько раз быстрее?

Ситуация

Во Дворце льда фигуристка широко разводит руки и одну ногу и медленно начинает вращаться. Потом она прижимает их к телу — и вращение ускоряется так, что лица уже не разглядеть. Её никто не толкал, а лёд почти не создаёт трения. Откуда взялась скорость вращения — и откуда взялась дополнительная энергия?

Тема

Динамика твёрдого тела. Вращение фигуриста: сохранение момента импульса

Ключевые понятия

Сохранение момента импульса
Момент инерции
Качение

Формулы

L = I ω = const

Если нет момента внешних сил, момент импульса сохраняется.

I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}, I = I_{c} + m d^{2}

Момент инерции зависит от того, как далеко от оси находится масса. Теорема Штейнера: ось смещена от центра масс на $d$ .

E_{k} = \frac{I ω^{2}}{2} = \frac{L^{2}}{2 I}

Если $L$ не меняется, то при уменьшении $I$ кинетическая энергия растёт.

M = I ε, \frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{M}

Основное уравнение динамики вращательного движения и уравнение моментов.

a = \frac{g \sin θ}{1 + I / (m r^{2})}

Ускорение при качении без проскальзывания по наклонной плоскости зависит только от формы. У маятника Максвелла $θ = 90 °$ , $r$ — радиус оси.

Теория

Сохранение момента импульса

Лёд и воздух почти не создают момента силы, действующего на фигуристку, поэтому момент импульса $L = I ω$ не меняется. Когда руки и нога приближаются к оси, момент инерции $I$ уменьшается — и $ω$ во столько же раз растёт. На сцене длина стрелки $L$ не меняется, а частота вращения возрастает до 5 раз. В теоретической механике этот закон — следствие изотропности пространства: в пространстве все направления равноправны, поэтому $\vec{L}$ замкнутой системы сохраняется (теорема Нётер, подробнее — «Гамильтонова механика»). На этом законе основан и гироскоп — «Гироскоп и прецессия».

Откуда берётся энергия?

$E_{k} = L^{2} / (2 I)$ : при уменьшении $I$ кинетическая энергия растёт. Эту энергию даёт мышечная сила фигуристки: чтобы подтянуть вращающуюся руку к оси, нужна центростремительная сила, и она совершает работу вдоль пути руки: $A_{m} = \frac{L^{2}}{2} (\frac{1}{I_{2}} - \frac{1}{I_{1}})$ . Когда руки разводят, энергия снова уменьшается — мышцы удерживают руки и тормозят их.

Поступательное, вращательное и плоское движение

Любое движение твёрдого тела складывается из поступательного (все точки смещаются одинаково) и вращательного движений. Движение тела описывается скоростью центра масс (центра инерции) ${\vec{v}}_{c}$ и угловой скоростью $\vec{ω}$ : импульс $\vec{p} = m {\vec{v}}_{c}$ , кинетическая энергия $\frac{m v_{c}^{2}}{2} + \frac{I_{c} ω^{2}}{2}$ . Качение — плоское движение: центр смещается со скоростью $v_{c}$ , тело вращается вокруг него с $ω = v_{c} / r$ , а точка опоры покоится. На наклонной плоскости $m g h = \frac{m v^{2}}{2} (1 + k)$ , $k = I / (m r^{2})$ : труба ( $k = 1$ ) тратит половину энергии на вращение и скатывается медленнее всех, а результат не зависит от массы и радиуса. По времени заезда находят $k = \frac{g \sin θ t^{2}}{2 L} - 1$ и $I = k m r^{2}$ (результат — в таблице). Свободные оси вращения — в «Гироскоп и прецессия».

Динамика вращательного движения

Основное уравнение вращения вокруг неподвижной оси $M = I ε$ : момент силы создаёт угловое ускорение, а момент инерции играет роль «сопротивления», как масса. В общем случае — уравнение моментов $d \vec{L} / d t = \vec{M}$ : у фигуристки включите трение, и внешний момент уменьшит $L$ . Моменты инерции некоторых тел: обруч $m R^{2}$ , диск $\frac{1}{2} m R^{2}$ , шар $\frac{2}{5} m R^{2}$ , стержень, вращающийся вокруг середины, $\frac{1}{12} m L^{2}$ , вокруг конца — $\frac{1}{3} m L^{2}$ . Теорема Штейнера $I = I_{c} + m d^{2}$ : если в маятнике Обербека груз сместить на $R$ , то $I$ увеличится на $m_{0} R^{2}$ . Работа, совершённая при раскручивании, $A = M φ$ переходит в кинетическую энергию вращения.

Лаборатория: измерение I и μ

Маятник Обербека и колесо (без груза и с грузом): груз опускается на $h$ за время $t$ , $I = m r^{2} (\frac{g t^{2}}{2 h} - 1)$ — это и есть $M = I ε$ . Маятник Максвелла: $a = g / (1 + I / m r^{2})$ , более 95 % энергии уходит на вращение. Трифилярный подвес (крутильные колебания): $I = \frac{M g R r}{4 π^{2} l} T^{2}$ ; на стальной проволоке $T = 2 π \sqrt{I / D}$ . Подвесной маятник: амплитуда шарика, катящегося по наклонной пластине, уменьшается за каждое колебание на одну и ту же величину, $μ = tg β \frac{α_{0} - α_{n}}{4 n}$ . Сила трения качения $F = μ N = f N / R$ намного меньше, чем при скольжении: стальное колесо на рельсе испытывает трение примерно в 100 раз меньше, чем при скольжении, — на этом основаны подшипники.

Упрощения модели

Фигуристка — 50 кг, рост 1,62 м; тело состоит из 14 сегментов, массы сегментов взяты из таблицы Демпстера (каждая рука 5 %, каждая нога 16 %), каждый сегмент — однородный цилиндр. Если «Трение» выключено, нет ни трения льда, ни сопротивления воздуха. В заезде тела катятся без проскальзывания ( $μ \geq k tg θ / (1 + k)$ ), сопротивление воздуха и трение качения не учитываются. В лаборатории нить нерастяжима и невесома; трение в подшипнике Обербека — постоянный момент; диск Максвелла теряет 5 % скорости при рывке нити внизу; крутильные колебания считаются малыми по углу; коэффициенты трения качения ( $f$ = 0,007 и 0,03 мм) — приблизительные табличные значения. Трение покоя, скольжения и вязкое трение — в экспериментах «Торможение автомобиля» и «Вязкость и течение».

Знаете ли вы?

Пульсары — сверхплотные нейтронные звёзды. Когда ядро звезды сжимается до нескольких десятков километров, момент импульса сохраняется, поэтому оно начинает вращаться очень быстро: самый быстрый из известных пульсаров PSR J1748−2446ad делает около 716 оборотов в секунду.
Прыгуны в воду в воздухе «группируются», обхватывая колени: момент инерции уменьшается в несколько раз, и за один прыжок они успевают сделать больше сальто. Перед входом в воду они выпрямляют тело и замедляют вращение.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Баскетбол: штрафной бросок — 10 класс
Импульс и его сохранение — 10 класс
Поворот на наклонной трассе — 10 класс
Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс
Неинерциальные системы отсчёта — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс
Реактивное движение и ракета — 10 класс
Вязкость и течение — 10 класс