Физика · Механика · 10 класс

Неинерциальные системы отсчёта

Почему плоскость качаний маятника, до которого никто не дотрагивался, часами поворачивается?

Ситуация

Под куполом Пантеона в Париже подвешена 67-метровая проволока, и тяжёлый шар на её конце медленно качается. С каждым часом плоскость качаний понемногу поворачивается, оставляя на песке звёздчатый след — будто кто-то невидимой рукой поворачивает шар. На самом деле шар не поворачивает ничто: вращается пол под ним, то есть сама Земля. Как быстро будет происходить этот поворот в Ташкенте, а на экваторе?

Тема

Неинерциальные системы отсчёта. Маятник Фуко и сила Кориолиса

Ключевые понятия

Сила Кориолиса
Маятник Фуко
Вращающаяся система отсчёта

Формулы

{\vec{a}}_{K} = - 2 \vec{Ω} \times \vec{v}

Ускорение Кориолиса: действует на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.

\ddot{x} = - ω_{0}^{2} x + 2 Ω \sin φ \dot{y}, \ddot{y} = - ω_{0}^{2} y - 2 Ω \sin φ \dot{x}

Маятник Фуко (малые колебания, $x$ — восток, $y$ — север, $ω_{0}^{2} = g / L$ ).

Ω_{p} = Ω \sin φ \approx {15,04}^{\circ} / ч \cdot \sin φ

Скорость поворота плоскости качаний, $φ$ — широта.

T_{p} = \frac{T_{⋆}}{\sin φ}, T_{⋆} = 23 ч 56 мин

Период полного поворота; $T_{⋆}$ — звёздные сутки.

d \approx ω v t^{2}

На карусели: отклонение мяча, летящего время $t$ , во вращающейся системе.

Теория

Неинерциальная система отсчёта

Вращающийся пол — Земля или карусель — это неинерциальная система отсчёта. Чтобы в ней выполнялись законы Ньютона, добавляют силы инерции: центробежную силу и силу Кориолиса $- 2 m \vec{Ω} \times \vec{v}$ . Сила Кориолиса действует только на движущееся тело и перпендикулярна скорости: при вращении против часовой стрелки (северное полушарие) она отклоняет тело от направления движения вправо. А в системе, движущейся с поступательным ускорением (тормозящий автобус, лифт), единственная сила инерции — $- m {\vec{a}}_{0}$ ; отсюда невесомость и перегрузка — подробно в эксперименте «Законы Ньютона» (лифт).

Маятник Фуко

Плоскость качаний маятника почти не меняется относительно звёзд. Вертикальная составляющая вектора вращения Земли равна $Ω \sin φ$ , поэтому пол под маятником поворачивается с этой угловой скоростью. На полюсе плоскость делает полный оборот за одни звёздные сутки (23 ч 56 мин), на экваторе не поворачивается совсем, в Ташкенте — ≈ 9,9°/ч, полный оборот — ≈ 36 ч.

Закон Бэра: правый берег реки

На любое тело, движущееся горизонтально по поверхности Земли, действует горизонтальная составляющая силы Кориолиса $2 m Ω v \sin φ$ — та самая сила, которая поворачивает маятник Фуко. Речная вода в северном полушарии тоже прижимается вправо от направления течения, а в южном — влево, куда бы ни было направлено течение. Закон Бэра (назван по имени натуралиста Карла Бэра): реки северного полушария сильнее подмывают правый берег, южного — левый. Сила очень мала: при $v = 2$ м/с и $φ = 41 °$ получаем $a_{K} \approx 1,9 \cdot 10^{- 4}$ м/с², то есть ≈ 0,002 % от $g$ ; в реке шириной 500 м уровень воды у правого берега выше всего на ≈ 1 см. Но она действует непрерывно сотни и тысячи лет. В реальных реках на форму берегов часто сильнее влияют тип почвы и изгибы русла, поэтому закон заметен не у каждой реки. Посчитайте сами в разделе «Закон Бэра» на панели.

Карусель: одно движение — две картины

Для наблюдателя, стоящего на земле, брошенный мяч (без сопротивления воздуха) летит по прямой в горизонтальной плоскости; к скорости мяча добавляется и скорость вращения бросающего ребёнка. А ребёнок на карусели видит, что мяч летит по кривой — в его системе «работают» силы Кориолиса и центробежная. Чтобы попасть в цель, отклонение нужно рассчитать заранее и бросать левее: первое приближение $α \approx arctg (ω D / v)$ .

Модель и упрощения

Маятник Фуко для малых колебаний ( $A ≪ L$ ) решается методом РК4; центробежная сила считается входящей в силу тяжести. Если включить «Сопротивление воздуха», амплитуда уменьшается в $e$ раз примерно за 4 часа (настоящие маятники поддерживают электромагнитным толчком) — скорость поворота от этого не меняется. След на песке прочерчивается от края до края каждого колебания. Время ускорено — в выбранном режиме 1 с на экране равна 1 мин, 10 мин или 1 ч. На карусели сопротивления воздуха нет.

Знаете ли вы?

В 1851 году Леон Фуко в парижском Пантеоне с помощью 28-килограммового маятника на 67-метровой проволоке сделал вращение Земли видимым для всех.
В северном полушарии циклоны вращаются против часовой стрелки, а в южном — по часовой; это тоже результат действия силы Кориолиса.

Что внутри эксперимента

Эксперимент начинается с жизненной ситуации: вы предсказываете результат, меняете параметры, проводите опыт и делаете вывод. Внутри — задания, теория, тест и экскурсия: камера сама движется и объясняет главное.

Другие эксперименты раздела

Импульс и его сохранение — 10 класс
Поворот на наклонной трассе — 10 класс
Центр тяжести и равновесие — 10 класс
Крыло самолёта — 10 класс
Динамика твёрдого тела — 10 класс
Наклонная плоскость и машина Атвуда — 10 класс
Свободное падение и воздух — 10 класс
Реактивное движение и ракета — 10 класс
Вязкость и течение — 10 класс
Гироскоп и прецессия — 1 курс